Superkvadrik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nekateri superkvadriki.

Superkvadrik (tudi superkvadratik) je v matematiki družina geometrijskih oblik, ki so definirane z obrazci, ki spominjajo na elipsoide in kvadrike. Od njih se razlikujejo v tem, da so operacije kvadriranja nadomeščene s poljubno potenco. Lahko jih obravnavamo kot tridimenzionalne sorodnike Laméjevih krivulj (superelipse)

Superkvadriki vključujejo mnogo oblik, ki so podobne kockam, oktaedrom, valjem, karom in vretenom. Vsi pa imajo zaobljene ali pa tudi ostre robove. Ker so precej enostavni, so zelo uporabni pri geometrijskem modeliranju (računalniška grafika).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Implicitna enačba[uredi | uredi kodo]

Osnovni superkvadrik opišemo z enačbo

 \left|x\right|^r + \left|y\right|^s + \left|z\right|^t =1

kjer so

Odvisnost lastnosti in oblike superkvadrika od realnih števil  r, s, t \, je

  • manjši od 1: koničast oktaeder z vbočenimi (konkavnimi) ploskvami in ostrimi robovi
  • natančno 1: pravilni oktaeder
  • med 1 in 2: oktaeder z izbočenimi (konveksnimi) ploskvami in s topimi robovi
  • natančno 2: sfera
  • večji od 2: kocka z zaobljenimi robovi
  • neskončni: kocka

Parametrična oblika[uredi | uredi kodo]

Parametrične enačbe s parametroma u in v

\begin{align}
 x(u,v) &{}= A c\left(v,\frac{2}{r}\right) c\left(u,\frac{2}{r}\right) \\
 y(u,v) &{}= B c\left(v,\frac{2}{s}\right) s\left(u,\frac{2}{s}\right) \\
 z(u,v) &{}= C s\left(v,\frac{2}{t}\right) \\
 & -\frac{\pi}{2} \le v \le \frac{\pi}{2}, \quad -\pi \le u < \pi ,
\end{align}

kjer sta pomožni funkciji

\begin{align}
 c(\omega,m) &{}= \sgn(\cos \omega) |\cos \omega|^m \\
 s(\omega,m) &{}= \sgn(\sin \omega) |\sin \omega|^m
\end{align}

in funkcija sign sgn(x) je

 \sgn(x) = \begin{cases}
 -1, & x < 0 \\
  0, & x = 0 \\
 +1, & x > 0 .
\end{cases}.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]