Superkvadrik

Nekateri superkvadriki.

Superkvadrik (tudi superkvadratik) je v matematiki družina geometrijskih oblik, ki so definirane z obrazci, ki spominjajo na elipsoide in kvadrike. Od njih se razlikujejo v tem, da so operacije kvadriranja nadomeščene s poljubno potenco. Lahko se jih obravnava kot trirazsežne sorodnike Laméjevih krivulj (superelipse).

Superkvadriki vključujejo mnogo oblik, ki so podobne kockam, oktaedrom, valjem, karom in vretenom. Vsi pa imajo zaobljene ali pa tudi ostre robove. Ker so precej enostavni, so zelo uporabni pri geometrijskem modeliranju (računalniška grafika).

Definicija

Implicitna enačba

Osnovni superkvadrik se opiše z enačbo:

$\left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1\!\,,$

kjer so:

• $r,s,t\,$ realna števila, ki določajo obliko in glavne značilnosti superkvadrika.

Odvisnost značilnosti in oblike superkvadrika od realnih števil $r,s,t\,$ je:

• manjši od 1: koničast oktaeder z vbočenimi (konkavnimi) ploskvami in ostrimi robovi
• točno 1: pravilni oktaeder
• med 1 in 2: oktaeder z izbočenimi (konveksnimi) ploskvami in s topimi robovi
• točno 2: sfera
• večji od 2: kocka z zaobljenimi robovi
• neskončni: kocka

Parametrična oblika

Parametrične enačbe s parametroma $u\,$ in $v\,$:

${\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ac\left(v,{\frac {2}{r}}\right)c\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bc\left(v,{\frac {2}{s}}\right)s\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cs\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi \!\,,\end{aligned}}$

kjer sta pomožni funkciji:

${\begin{aligned}c(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )|\cos \omega |^{m}\\s(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )|\sin \omega |^{m}\!\,\end{aligned}}$

in funkcija predznaka $\operatorname {sgn}(x)\,$:

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1;&x<0\\0;&x=0\\+1;&x>0.\end{cases}}$

Glej tudi

• kvadrik
• superelipsa
• supertoroid
• superelipsoid
• superjajce

Zunanje povezave

• Superkvadriki Arhivirano 2010-04-30 na Wayback Machine. (angleško)
• Superkvadriki in njihove geometrijske značilnosti Arhivirano 2012-12-22 na Wayback Machine. (angleško)
• Superkvadriki (angleško)