Kvadrik

Kvadrik (tudi ploskev drugega reda) je poljubna $n \,$ razsežna hiperpovršina v $n - 1 \,$ razsežnem prostoru, ki je geometrijsko mesto ničel (korenov) kvadratnega polinoma.

Splošna oblika kvadrika je definirana z algebrajsko enačbo

$\sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i x_i + R = 0$

kjer so

• $\{x_1, x_2, \dots, x_{n+1} \} \,$ koordinate.

Enačbo lahko napišemo s pomočjo vektorskega in matričnega zapisa

$x Q x^T + P x^T + R = 0\,$

kjer je

• $x = \{x_1, x_2, \dots, x_{n +1} \} \,$ vrstični vektor
• $x^T \,$ transponirana oblika vrstičnega vektorja $x \,$ (dobimo stolpični vektor)
• $Q \,$ matrika z razsežnostjo $(n+1) \times (n+1) \,$
• $P \,$ vrstični vektor razsežnosti $n + 1 \,$
• $R \,$ skalarna konstanta

Evklidska ravnina in Evklidski prostor

Kvadriki v Evklidski ravnini imajo razsežnost $n = 1 \,$ in jim pravimo krivulje. Te vrste kvadriki so stožnice, ki jih včasih imenujemo tudi koniki.

Elipsa (e=1/2), parabola (e=1) in hiperbola (e=2) s stalnim goriščem (fokusom) F in vodilko (direkriso).

V Evklidskem prostoru imajo kvadriki razsežnost $n = 2 \,$ in jih imenujemo kvadrične površine (površine drugega reda).

V naslednjem pregledu so prikazani izrojene (degenerirane) in neizrojene (nedegenerirane) kvadrične površine.

Nedegenerirane kvadrične površine
Elipsoid	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \,$
Sferoid (posebni primer elipsoida)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,$
Sfera (posebni primer sferoida)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,$
Eliptični paraboloid	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \,$
Krožni paraboloid (posebni primer eliptičnega paraboloida)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0 \,$
Hiperbolični paraboloid	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 \,$
Enodelni hiperboloid	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \,$
Dvodelni hiperboloid	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \,$
Degenerirane kvadrične površine
Stožec	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,$
Krožni stožec (posebni primer stožca)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,$
Eliptični Valj	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \,$
Krožni valj (posebni primer eliptičnega valja)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1 \,$
Hiperbolični valj	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \,$
Parabolični valj	$x^2 + 2ay = 0 \,$

Glej tudi

• superkvadriki
• Kleinov kvadrik

Zunanje povezave

• Kvadrik na MathWorld (v angleščini)
• Kvadriki (v angleščini)