Engelov razvoj

Engelov razvoj (angleško Engel expansion) pozitivnega realnega števila x je enolično nepadajoče zaporedje pozitivnih celih števil $\{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}$, da velja:

$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots \!\,.$

Racionalna števila imajo končni Engelov razvoj, iracionalna pa neskončnega. Če je x racionalen, Engelov razvoj zagotavlja predstavitev x kot egipčanski ulomek. Engelovi razvoji se imenujejo po Friedrichu Engelu, ki jih je raziskoval leta 1913.

Engelovi razvoji, verižni ulomki in Fibonacci

Kraaikamp in Wu sta pokazala, da je moč Engelov razvoj zapisati tudi kot naraščajočo različico verižnega ulomka:

$x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}\!\,.$

Trdita da je naraščajoče verižne ulomke takšne oblike raziskoval že Leonardo Fibonacci v delu Knjiga o abaku (Liber Abaci) leta 1202. Izhajata iz Fibonaccijevega sestavljenega zapisa ulomkov, kjer ima zaporedje števcev in imenovalcev skupno ulomkovo črto, in predstavlja naraščajoči verižni ulomek:

${\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\frac {d+{\frac {c+{\frac {b+{\frac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}\equiv \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}\!\,.$

Če imajo v takšnem zapisu, ki so pojavi na več mestih v Fibonaccijevem delu, vsi števci vrednost 0 ali 1, je zapis enak Engelovemu razvoju. Vendar splošni postopek Engelovega razvoja, kot se zdi, ni opisal Fibonacci.

Algoritem za računanje Engelovih razvojev

Za iskanje Engelovega razvoja x naj je:

$u_{1}=x\!\,,$

$a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!\,,$

in:

$u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1\!\,,$

kjer je $\left\lceil r\right\rceil$ zgornji celi del (najmanjše celo število večje ali enako od r).

Če je $u_{i}=0$ za kakšen i, se algoritem ustavi.

Zgled

Za Engelov razvoj števila 1,175 imamo:

$u_{1}=1,175,\quad a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1,175}}\right\rceil =1;$

$u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1,175\cdot 1-1=0,175,\quad a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0,175}}\right\rceil =6;$

$u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0,175\cdot 6-1=0,05,\quad a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0,05}}\right\rceil =20;$

$u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0,05\cdot 20-1=0\!\,.$

Zaporedje se tu konča. Tako je:

$1,175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}$

in Engelov razvoj števila $1,175$ je $\{1,6,20\}\;$.

Engelovi razvoji racionalnih števil

Vsako pozitivno racionalno število ima enolični končni Engelov razvoj. Če je v algoritmu za Engelov razvoj u_i racionalno število x/y, potem je u_i+1 = (−y mod x)/y. Zaradi tega se v vsakem koraku števec preostalega ulomka u_i poveča in se mora proces konstruiranja Engelovega razvoja končati v končnem številu korakov. Vsako racionalno število ima tudi enoličen neskončni Engelov razvoj. S pomočjo enakosti:

${\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}\!\,$

se lahko končna števka n v končnem Engelovem razvoju zamenja z neskončnim zaporedjem členov (n + 1), ne da bi se vrednost števila spremenila. Na primer:

$1,175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}\!\,.$

To je podobno dejstvu da ima vsako racionalno število s končnim številom decimalk tudi neskončni decimalni zapis (glej 0,999...).

Engelovi razvoji nekaterih znanih števil

simbol	Engelov razvoj	OEIS	ime
$\pi \;$	$\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}\;$	A006784	π
$e\;$	$\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}\;$ V splošnem: $e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;$	A000027	e
$K_{0}\;$	$\{1,1,2,3,9,70,117,503,648,1078,12868,41235,178650,\dots \}\;$	A054544	Hinčinova konstanta
${\sqrt {3}}\;$	$\{1,2,3,3,6,17,23,25,27,73,\dots \}\;$	A028257	kvadratni koren iz 3
$\zeta (2)\;$	$\{1,2,4,7,9,22,35,79,2992,3597,17523,28632,41470,53093,\dots \}\;$	A059186	ζ(2)
$\Phi \;$	$\{1,2,5,6,13,16,16,38,48,58,104,\dots \}\;$	A028259	število zlatega reza
${\sqrt {2}}\;$	$\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}\;$	A028254	kvadratni koren iz 2
$\zeta (3)\;$	$\{1,5,98,127,923,5474,16490,25355,37910,85150,\dots \}\;$	A053980	ζ(3) (Apéryjeva konstanta)
$1\;$	$\{2,2,2,2,2,\dots \}\;$		1
$K\;$	$\{2,2,2,4,4,5,5,12,13,41,110,\dots \}\;$	A054543	Catalanova konstanta
$\gamma \;$	$\{2,7,13,19,85,2601,9602,46268,4812284,\dots \}\;$	A053977	Euler-Mascheronijeva konstanta

V splošnem je Engelov razvoj s konstantnimi členi geometrično zaporedje.

Glej tudi

• Pierceov razvoj

Viri

• Engel, Friedrich (1913), »Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen«, Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191
• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), »On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients«, Monatshefte für Mathematik, 143: 285–298, doi:10.1007/s00605-004-0246-3

Zunanje povezave

• Engelovi razvoji (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Engel Expansion«. MathWorld.