Engelov razvoj

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Engelov razvoj (angleško Engel expansion) pozitivnega realnega števila x je enolično nepadajoče zaporedje pozitivnih celih števil \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots\}, da velja:

 x=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}a_{3}}+\cdots \!\, .

Racionalna števila imajo končni Engelov razvoj, iracionalna pa neskončnega. Če je x racionalen, Engelov razvoj zagotavlja predstavitev x kot egipčanski ulomek. Engelovi razvoji se imenujejo po Friedrichu Engelu, ki jih je raziskoval leta 1913.[1]

Engelovi razvoji, verižni ulomki in Fibonacci[uredi | uredi kodo]

Kraaikamp in Wu sta pokazala, da je moč Engelov razvoj zapisati tudi kot naraščajočo različico verižnega ulomka:[2]

 x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_{3}}}{\displaystyle a_{2}}}{\displaystyle a_{1}} \!\, .

Trdita da je naraščajoče verižne ulomke takšne oblike raziskoval že Leonardo Fibonacci v delu Knjiga o abaku (Liber Abaci) leta 1202. Izhajata iz Fibonaccijevega sestavljenega zapisa ulomkov, kjer ima zaporedje števcev in imenovalcev skupno ulomkovo črto, in predstavlja naraščajoči verižni ulomek:

\frac{a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h} = \frac{d+\frac{c+\frac{b+\frac{a}{e}}{f}}{g}}{h} \equiv \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots\} \!\, .

Če imajo v takšnem zapisu, ki so pojavi na več mestih v Fibonaccijevem delu, vsi števci vrednost 0 ali 1, je zapis enak Engelovemu razvoju. Vendar splošni postopek Engelovega razvoja, kot se zdi, ni opisal Fibonacci.

Algoritem za računanje Engelovih razvojev[uredi | uredi kodo]

Za iskanje Engelovega razvoja x naj je:

 u_{1}=x \!\, ,
 a_{k}=\left \lceil \frac{1}{u_{k}} \right \rceil \!\, ,

in:

 u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1 \!\, ,

kjer je \left \lceil r \right \rceil zgornji celi del (najmanjše celo število večje ali enako od r).

Če je u_{i}=0 za kakšen i, se algoritem ustavi.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Za Engelov razvoj števila 1,175 imamo:

u_{1} = 1,175, \quad a_{1}=\left \lceil \frac{1}{1,175} \right\rceil = 1 ;
u_{2} = u_{1}a_{1}-1=1,175\cdot1-1=0,175, \quad  a_{2}=\left\lceil\frac{1}{0,175}\right\rceil=6 ;
u_{3} = u_{2}a_{2}-1=0,175\cdot6-1=0,05, \quad  a_{3}=\left\lceil\frac{1}{0,05}\right\rceil=20 ;
u_{4} = u_{3}a_{3}-1=0,05\cdot20-1=0 \!\, .

Zaporedje se tu konča. Tako je:

1,175=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot6}+\frac{1}{1\cdot6\cdot20}

in Engelov razvoj števila 1,175 je \{1,6,20\}\;.

Engelovi razvoji racionalnih števil[uredi | uredi kodo]

Vsako pozitivno racionalno število ima enolični končni Engelov razvoj. Če je v algoritmu za Engelov razvoj ui racionalno število x/y, potem je ui+1 = (−y mod x)/y. Zaradi tega se v vsakem koraku števec preostalega ulomka ui poveča in se mora proces konstruiranja Engelovega razvoja končati v končnem številu korakov. Vsako racionalno število ima tudi enoličen neskončni Engelov razvoj. S pomočjo enakosti:

 \frac{1}{n}=\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^r} \!\,

se lahko končna števka n v končnem Engelovem razvoju zamenja z neskončnim zaporedjem členov (n + 1), ne da bi se vrednost števila spremenila. Na primer:

 1,175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots\} \!\, .

To je podobno dejstvu da ima vsako racionalno število s končnim številom decimalk tudi neskončni decimalni zapis (glej 0,999...).

Engelovi razvoji nekaterih znanih števil[uredi | uredi kodo]

Simbol Engelov razvoj OEIS Ime
 \pi \;  \{1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, \dots\} \; A006784 π
 e \;  \{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, \dots\} \;
V splošnem: e^{1/r}-1=\{1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r, \dots\}\;
A000027 e
 K_{0} \;  \{1, 1, 2, 3, 9, 70, 117, 503, 648, 1078, 12868, 41235, 178650, \dots\} \; A054544 Hinčinova konstanta
 \sqrt{3} \;  \{1, 2, 3, 3, 6, 17, 23, 25, 27, 73, \dots\} \; A028257 Kvadratni koren od 3
 \zeta(2) \;  \{1, 2, 4, 7, 9, 22, 35, 79, 2992, 3597, 17523, 28632, 41470, 53093, \dots\} \; A059186 ζ(2)
\Phi \;  \{1, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, \dots\} \; A028259 Število zlatega reza
 \sqrt{2} \;  \{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144, \dots\} \; A028254 Kvadratni koren od 2
 \zeta(3) \;  \{1, 5, 98, 127, 923, 5474, 16490, 25355, 37910, 85150, \dots\} \; A053980 ζ(3) (Apéryjeva konstanta)
 1 \;  \{2,2,2,2,2, \dots\} \;   1
 K \;  \{2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 12, 13, 41, 110, \dots\} \; A054543 Catalanova konstanta
 \gamma \;  \{2, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, \dots\} \; A053977 Euler-Mascheronijeva konstanta

V splošnem je Engelov razvoj s konstantnimi členi geometrično zaporedje.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Engel, Friedrich (1913). "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen". Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191. 
  2. ^ Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004). »On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients«. Monatshefte für Mathematik 143: 285–298. DOI:10.1007/s00605-004-0246-3

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]