Težiščni koordinatni sistem

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

Definicija

Naj bodo ${\textbf {x}}_{1}\ldots {\textbf {x}}_{n}$ oglišča simpleksa v vektorskem prostoru $A\,$

in, če za neko točko ${\textbf {p}}$ v $A\,$ velja

$(a_{1}+\cdots +a_{n}){\textbf {p}}=a_{1}\,{\textbf {x}}_{1}+\cdots +a_{n}\,{\textbf {x}}_{n}$ in najmanj eden izmed $a_{1}+\cdots +a_{n}\,$ ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti $(a_{1}+\cdots +a_{n})\,$ težiščne koordinate točke ${\textbf {p}}$ glede na $x_{1}\cdots x_{n}\,$.

Oglišča imajo koordinate ${\textbf {x}}_{1}=(1,0,0,...,0),{\textbf {x}}_{2}=(0,1,0,...,0),\ldots ,{\textbf {x}}_{n}=(0,0,0,...,1)$.

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak $b\,$, ki ni enak nič, so tudi $(ba_{1},\cdots ,ba_{n})\,$ težiščne koordinate za $p\,$. Kadar koordinate niso negativne, točka $P\,$ leži v konveksni ogrinjači za $x_{1}\cdots x_{n}\,$, to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotniku

Težiščne koordinate $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik $T\,$, ki je določen s tremi oglišči $r_{1}\,$, $r_{2}\,$ in $r_{3}\,$. Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

${\textbf {r}}=\lambda _{1}{\textbf {r}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {r}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {r}}_{3},$

kjer so

• $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,$ težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1\,$.

Pretvorba v težiščne koordinate

Imamo dano točko $r\,$ (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,$ v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah $(x,y)\,$ z uporabo oglišč $r_{1},r_{2},r_{3}\,$ kot

${\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\\\end{matrix}}\,$.

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo

${\textbf {T}}\cdot \lambda ={\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{3}\,$

kjer je

• $\lambda \,$ je vektor težiščnih koordinat
• $r\,$ vektor v kartezičnih koordinatah
• $T\,$ matrika, ki ima vrednost

${\textbf {T}}=\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\\\end{matrix}}\right)$.

Ker sta $r_{1}-r_{2}\,$ in $r_{2}-r_{3}\,$ linearno neodvisna, je matrika $T\,$ obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)={\textbf {T}}^{-1}({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{3})\,$.

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

$\lambda _{1}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\,,$

$\lambda _{2}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{3}-y_{1})(x_{2}-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3})}}\,,$

$\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,$.

Težiščne koordinate v tetraedru

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate $\lambda =(1,0,0,0)\,$.

Tudi tukaj velja

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)={\textbf {T}}^{-1}({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{4})\,$

kjer je

• $T\,$ matrika $3\times 3\,$, ki ima obliko

${\textbf {T}}=\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)$

Posplošeni težiščni koordinatni sistem

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

$(a_{1}+\cdots +a_{n})p=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$

kjer so $x_{1}\cdots x_{n}\,$ oglišča politopa.

Zunanje povezave

• Uporaba homogenih težiščnih koordinat v ravninski Evklidski geometriji Arhivirano 2009-09-01 na Wayback Machine. (angleško)
• Zbirka člankov o težiščnem koordinatnem sistemu (angleško)
• Težiščni koordinatni sistem (angleško)