Težiščni koordinatni sistem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bodo oglišča simpleksa v vektorskem prostoru

in, če za neko točko v velja

in najmanj eden izmed ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti težiščne koordinate točke glede na .

Oglišča imajo koordinate .

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak , ki ni enak nič, so tudi težiščne koordinate za . Kadar koordinate niso negativne, točka leži v konveksni ogrinjači za , to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotniku[uredi | uredi kodo]

Težiščne koordinate nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik , ki je določen s tremi oglišči , in . Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

kjer so

  • težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

.

Pretvorba v težiščne koordinate[uredi | uredi kodo]

Imamo dano točko (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah z uporabo oglišč kot

.

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo

kjer je

  • je vektor težiščnih koordinat
  • vektor v kartezičnih koordinatah
  • matrika, ki ima vrednost
.

Ker sta in linearno neodvisna, je matrika obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo

.

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

.

Težiščne koordinate v tetraedru[uredi | uredi kodo]

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate .

Tudi tukaj velja

kjer je

  • matrika , ki ima obliko

Posplošeni težiščni koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

kjer so oglišča politopa.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]