Splošna hiperbolična porazdelitev

Splošna hiperbolična porazdelitev
oznaka	${\textrm {GH}}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma )\!$
parametri	$\mu \!$ parameter lokacije (realno število ) $\lambda \!$ (realno število) $\alpha \!$ (realno število) $\beta \!$ parameter asimetrije (realno število) $\delta \!$ parameter merila (realno število) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\!$
interval	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!$ $\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	$\mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
mediana
modus
varianca	${\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	${\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
karakteristična funkcija

Splošna hiperbolična porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki jo določa šest parametrov.

Porazdelitev je posplošitev cele vrste porazdelitev kot so študentova t porazdelitev, Laplaceova porazdelitev, hiperbolična porazdelitev, normalna inverzna Gaussova porazdelitev in variančna gama porazdelitev.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

${\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!$
$\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!$

kjer je

• $K_{\lambda }\!$ modificirana Besslova funkcija druge vrste

Varianca

Varianca je enaka

${\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

${\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev