Vektor (matematika)

Véktor (latinsko vector - nosilec; iz vehere - nositi) je v matematiki in fiziki količina, ki ima poleg velikosti tudi smer. Vektorje v dvo- ali trirazsežnem prostoru predstavimo z usmerjenimi daljicami. Usmerjena daljica ${\overrightarrow {AB}}$ je daljica, ki ima začetno točko A in končno točko B.

Usmerjeni daljici ${\overrightarrow {AB}}$ in ${\overrightarrow {CD}}$ predstavljata isti vektor ${\vec {a}}$, če sta:

• vzporedni,
• enako dolgi in
• enako orientirani (usmerjeni).

Vektorje po navadi označimo s puščico nad imenom, npr.: ${\vec {a}},~{\vec {b}},~{\vec {c}}$. Namesto puščice se pogosto (zlati v rokopisu) uporablja tudi »harpuno«: ${\stackrel {\rightharpoonup }{a}},~{\stackrel {\rightharpoonup }{b}},~{\stackrel {\rightharpoonup }{c}}$. V starejših knjigah so zaradi tehničnih problemov v tiskarni vektorje namesto s puščico označevali s krepkim tiskom, npr.: $\mathbf {a,b,c}$, ponekod pa tudi s počrtajem: a, b, c.

V matematiki velja, da lahko vektor vzporedno prenesemo v poljubno začetno točko, v fiziki pa je marsikdaj pomembno, katero začetno točko (prijemališče) ima vektor.

V matematiki se poleg dvo- in trirazsežnih uporablja tudi posplošene večrazsežne (n-razsežne) vektorje.

Računanje z vektorji

Seštevanje vektorjev

Seštevanje vektorjev

Seštevanje vektorjev določa Chaslesova identiteta:

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}\!\,.$

Razlaga: Najprej moramo vektorja narisati tako, da leži začetna točka drugega vektorja v končni točki prvega (B). Vsota je potem vektor, ki poteka od začetne točke prvega(A) do končne točke drugega vektorja (C).

Če sta vektorja že narisana tako, da imata skupno začetno točko, si lahko pri seštevanju pomagamo tudi s paralelogramskim pravilom: skozi končni točki narišemo vzporednici k danima vektorjema in rezultat je diagonala nastalega paralelograma.

Množenje vektorja s številom (skalárjem)

Množenje vektorja s številom

Rezultat množenja vektorja ${\vec {a}}$ s številom n je vektor $n{\vec {a}}$, določen z naslednjimi lastnostmi:

• vektor $n{\vec {a}}$ je vzporeden z danim vektorjem ${\vec {a}}$
• dolžina vektorja $n{\vec {a}}$ je |n|-krat tolikšna kot dolžina vektorja ${\vec {a}}$
• če je n>0, je $n{\vec {a}}$ enako orientiran kot ${\vec {a}}$; če je n<0, pa je $n{\vec {a}}$ orientiran nasprotno kot ${\vec {a}}$

Linearna kombinacija vektorjev

Linearna kombinacija danih vektorjev ${\vec {a}},{\vec {b}},\ldots ,{\vec {d}}$ je vsota teh vektorjev pomnoženih s poljubnimi števili, torej:

$n{\vec {a}}+m{\vec {b}}+\cdots +p{\vec {d}}\!\,.$

Število vektorjev, ki nastopajo v linearni kombinaciji, je poljubno:

• linearna kombinacija enega vektorja ${\vec {a}}$ je kar enaka $n{\vec {a}}$. Rezultat je vektor, ki je vzporeden danemu vektorju ${\vec {a}}$. Če oba narišemo iz iste začetne točke, vidimo, da ležita na isti premici.
• linearna kombinacija dveh vektorjev ${\vec {a}}$ in ${\vec {b}}$ je enaka $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$. Če narišemo vse vektorje iz iste začetne točke, vidimo, da leži rezultat na isti ravnini kot dana vektorja.
• linearna kombinacija treh vektorjev je enaka $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}+r{\vec {c}}$.
• itd.

Če lahko v dani skupini vektorjev izrazimo enega od vektorjev kot linearno kombinacijo ostalih (npr: ${\vec {c}}=n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$), potem pravimo, da so vektorji iz te skupine med sabo linearno odvisni. Če to ni mogoče pa so linearno neodvisni (glej članek Linearna neodvisnost).

Baza vektorskega prostor je skupina vektorjev, ki so med seboj neodvisni, z njimi pa lahko izrazimo vsak drug vektor iz vektorskega prostora (glej članek Baza). Zgledi:

• Baza enorazsežnega vektorskega prostora (premice) je poljuben neničelen vektor ${\vec {a}}$ s te premice.
• Baza dvorazsežnega vektorskega prostora (ravnine) sta poljubna dva neničelna in nevzporedna vektorja ${\vec {a}}$ in ${\vec {b}}$ s te ravnine.
• Baza trirazsežnega vektorskega prostora so poljubni trije neničelni in nevzporedni vektorji, ki ne ležijo v isti ravnini.

Skalarni produkt

Skalarni produkt je računska opreacija, ki dvema vektorjema priredi število (skalár) po pravilu:

${\vec {a}}~{\vec {b}}=|{\vec {a}}|~|{\vec {b}}|~\cos \varphi \!\,.$

Razlaga: $|{\vec {a}}|$ in $|{\vec {b}}|$ sta dolžini danih vektorjev, $\cos \varphi$ pa pomeni kosinus kota, ki ga oklepata dana vektorja, če izhajata iz skupne začetne točke.

Vektorski produkt

Vektorski produkt

Vektorski produkt je računska operacija, ki dvema vektorjema kot rezultat priredi vektor ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, določen z naslednjimi lastnostmi:

• rezultat je pravokoten na oba podatka,
• dolžina rezultata je enaka ploščini paralelograma, ki ga določata oba podatka, če ju narišemo iz skupne začetne točke,
• smer (smisel) rezultata je določena s pravilom desne roke (če desno roko zasukamo z dlanjo naprej po krajši poti od prvega do drugega podatka, potem palec kaže v smeri rezultata).

Koordinate vektorjev

Vpeljava koordinat

Koordinate vektorja

Če imamo v ravnini ali v prostoru podan koordinatni sistem, lahko vektor zapišemo s koordinatami.

Krajevni vektor (starejši izraz radij-vektor) točke T je vektor, ki poteka od izhodišča koordinatnega sistema do točke T. Označimo ga ${\overrightarrow {0T}}$ ali ${\vec {r}}_{T}$.

Krajevni vektor ima enake koordinate kot njegova končna točka. Zgled: vektor, ki poteka od izhodišča do točke T(2,3) je enak ${\vec {r}}_{T}=(2,3)$.

Če se vektor ne začne v izhodišču, ga lahko najprej vzporedno prestavimo v izhodišče, potem pa določimo njegove koordinate. Po drugi strani pa lahko koordinate vektorja (ki se ne začne v izhodišču) razumemo kot relativne koordinate - tj. koordinate končne točke glede na začetno točko.

V ravnini ali prostoru s koordinatnim sistemom lahko izberemo tudi vektorsko bazo. Najbolj običajno je, da za bazne vektorje izberemo vektorje, ki so dolgi po 1 enoto in se po smeri ujemajo s koordinatnimi osmi (enotski vektorji). Tako bazo imenujemo standardna ortonormirana baza.

Standardna ortonormirana baza prostora je sestavljena iz vektorjev ${\vec {i}}=(1,0,0),~{\vec {j}}=(0,1,0),~{\vec {k}}=(0,0,1)$.

Če dani vektor izrazimo s táko bazo, vidimo, da velja zakonitost:

Komponente pri razvoju vektorja po standardni ortonormirani bazi so enake kot koordinate vektorja. Torej:

${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}\iff {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\!\,.$

Računanje s koordinatami

S koordinatami vektorjev lahko računamo po naslednjih pravilih. Privzemimo, da sta podana vektorja ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ in ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$:

• Vsota:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})\!\,$

• Produkt s številom n:

$n{\vec {a}}=(na_{1},na_{2},na_{3})\!\,$

• Dolžina vektorja:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\!\,$

• Skalarni produkt:

${\vec {a}}{\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\!\,$

Enaka pravila veljajo tudi za računanje z dvorazsežnimi vektoji, le da imajo ti eno koordinato manj.

Posplošeni vektorji

Koordinate omogočajo preprosto posplošitev vektorjev na poljubno razsežnost. Vektor v n-razsežnem prostoru si predstavljamo kot n-terico števil:

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\!\,.$

S takšnimi vektorji računamo po enakih pravilih, kot smo jih zapisali za računanje s trirazsežnimi vektorji, le da namesto trojic števil vzamemo n-terice.

Na takšnih vektorjih je zasnovana teorija splošnih vektorskih prostorov.

Glej tudi

• psevdovektor