Matrika vrtenja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoru[uredi | uredi kodo]

Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x.
Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi.

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko

.

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z

.

Tako dobimo nove koordinate za točko

,
.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je negativen.

.

Pogosta vrtenja[uredi | uredi kodo]

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:

(vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)
(vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)
(vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoru[uredi | uredi kodo]

Osnovna vrtenja[uredi | uredi kodo]

Vrtenja okoli koordinatnih osi v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike

.

Posplošitev vrtenja[uredi | uredi kodo]

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenja[uredi | uredi kodo]

V trirazsežnem prostoru, kjer je os vrtenja in je kot vrtenja,

  • (i.e., je ortogonalna matrika
  • lastne vrednosti so

  • sled matrike je enaka kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

  • os vrtenja
  • je determinanta
  • enotska matrika ()
  • je običajna imaginarna enota za katero velja

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Matrika

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice

Rotacijska matrika 3×3

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi

Rotacijska matrika 3×3

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−13,23,23)

Permutacijska matrika 3×3

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija

Naslednja matrika 3×3

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja

Matrika 4×3

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja

Matrika 4×4

predstavlja izoklinsko vrtenje,

Matrika 5×5

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]