Permutacijska matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Matrike, ki opisujejo permutacije 3 elementov. Skupaj 6 (1.2.3 = 3!) permutacij (v vsaki vrstici).
V vsakem kvadratu je ena izmed permutacij treh elementov.

Permutacijska matrika (oznaka ) je kvadratna matrika, ki ima v vsaki vrstici samo en element enak 1, na ostalih mestih pa ima ničle. Prav tako ima tudi v vsakem stolpcu samo po en element enak 1, ostali pa so 0. Vsaka takšna matrika predstavlja določeno permutacijo elementov. Vsaka permutacija ima svojo permutacijsko matriko. Če permutacijsko matriko pomnožimo z drugo matriko, dobimo permutacije v vrsticah v drugi matriki. Permutacijska matrika je nesigularna, kar pomeni, da njena determinanta ni nikoli enaka 0 (vedno je +1 ali -1).

Permutacijska matrika se vedno dobi s permutacijami enotske matrike. Vsaka enotska matrika je tudi permutacijska matrika.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Permutacijo elementov označimo s

To lahko enakovredno zapišemo v posebni obliki, ki jo imenujemo ciklično označevanje permutacij

kjer je

  • v prvi vrstici so napisani vsi elementi, ki jih permutiramo
  • v drugi vrstici so zapisane posamezne vrednosti permutiranih elementov
pomeni permutirani element na prvem mestu
itd.

Permutacijska matrika z razsežnostjo ima povsod 0, razen v vrstici , kjer ima vrednost 1. To lahko zapišemo kot

kjer je

  • enotski vrstični vektor z dolžino , ki ima enico na -tem mestu, na vseh ostalih mestih pa ima .

Zgled[uredi | uredi kodo]

Ena izmed permutacij štirih elementov je :

Pripadajoča matrika pa je:

.

Permutacijski matriki (dva elementa, ki permutirata) sta in

Primer permutacijske matrike (štirje elementi, ki permutirajo):

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • za dve permutaciji in velja
kjer je
kompozitum permutacij in
  • permutacijske matrike so ortogonalne, zanje velja :
  • permutacijska matrika spada med stohastične matrike
  • množenje permutacijske matrike s poljubno matriko povzroči permutacijo vrstic v matriki (to je )
  • množenje poljubne matrike s permutacijsko matriko ima za posledico permutacijo stolpcev v matriki (to je )
  • obratna vrednost permutacijske matrike je enaka njeni transponirani ali ( je enotska matrika)

Posplošitev permutacijske matrike[uredi | uredi kodo]

Vsota elementov v vsaki vrstici permutacijske matrike je 1. To lahko posplošimo tako, da dovolimo v vsaki vrstici poljubno vsoto. Takšne matrike so vsote permutacijskih matrik.

Primer: Naslednja matrika ima v vsaki vrstici vsoto elementov enako 5

.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]