Logaritemski integral

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Logaritemski integral

Logaritemski integral ali integralski logaritem li(x) je v matematiki specialna neelementarna funkcija, določena za vsa pozitivna realna števila x≠ 1 z določenim integralom:

 \operatorname{li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \!\, .

Tukaj ln označuje naravni logaritem. Funkcija 1/ln (t) ima singularno točko v t = 1, tako, da moramo integral za x > 1 predočiti s Cauchyjevo glavno vrednostjo:

 \operatorname{li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \right) \!\, .

Obnašanje funkcije pri x → ∞ je dano z:

 \operatorname{li} (x) = \Theta \left( \frac{x}{\ln x} \right) \!\, .

(glej zapis z velikim O).

Logaritemski integral je v glavnem pomemben, ker se pojavlja pri ocenitvi gostote praštevil, še posebej v praštevilskem izreku:

 \pi(x) \sim \operatorname{Li} (x) \!\, ,

kjer π(x) označuje multiplikativno aritmetično funkcijo - število praštevil manjših ali enakih x, Li(x) pa je funkcija ordinatnega logaritemskega integrala, povezana z li(x) kot Li(x) = li(x) - li(2).

Ordinatni logaritemski integral nam da še malo boljšo oceno za funkcijo π kot li(x). Funkcija li(x) je povezana z eksponentnim integralom Ei(x) preko enačbe:

 \operatorname{li} (x) = \operatorname{Ei} (\ln x) \quad \mbox{za vse pozitivne realne} \; x \ne 1 \!\, .

To vodi do razvojev v vrsto li(x). Na primer:

 {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| u \right| + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u^{n}}{n \cdot n!} \quad {\rm za} \; u \ne 0 \!\, ,

kjer je γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... Euler-Mascheronijeva konstanta. Funkcija li(x) ima eno pozitivno ničlo pri x ≈ 1,45136 92348 .... To število je znano kot Ramanujan-Soldnerjeva konstanta.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]