Kategorija (matematika)

Kategorija je v matematiki algebrska struktura, ki jo sestavlja zbirka objektov. Objekti so med seboj povezani tako, da za vsak objekt vemo, kateri je začetni in kateri končni. Te povezave lahko prikažemo ali obravnavamo tudi kot puščice.

Področje matematike, ki obravnava kategorije in preslikave med njimi, se imenuje teorija kategorij.

Definicija

Kategorijo $C \,$ sestavljajo

• razred, oznaka ob(C), objektov
• razred morfizmov z oznako hom(C), imenujemo jih tudi puščice ali preslikave med objekti. Vsakemu morfizmu lahko pripišemo začetni $a \,$ in končni $b \,$ objekt v $ob(C) \,$
• za vsake tri objekte $a \,$, $b \,$ in $c \,$ se binarna operacija $hom (a, b) \times hom (b, c) \to hom (a , c) \,$ imenuje kompozitum morfizmov. Kompozitum $f: a \to b \,$ in $g: b \to c \,$ se zapiše kot $g \circ f \,$

tako, da velja

• asociativnost, če je $f:a \to b, g:b \to c \,$ in $h:c \to d \,$, :potem velja tudi

$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \,$ in

• identiteta: za vsak objekt $x \,$ :obstoja morfizem $1_x: x \to x \,$, ki ga imenujemo morfizem identitete za $x \,$ tako, da za vsak morfizem $f:a \to b \,$ velja $1_b \circ f = f = f \circ 1_a \,$.

Zgledi

Razred vseh množic z vsemi funkcijami med njimi, ki so običajne kompozicije funkcij tvorijo veliko kategorijo, ki jo označujemo s Set.

Pregled kategorij

kategorija	objekt	morfizem
Mag	grupoidi	grupoidni homorfizem
Manp	gladke mnogoterosti	p-krat zvezno diferenciabilne preslikave
Met	metrični prostori	kratke preslikave
R-Mod	moduli R, kjer je R kolobar	homorfizem modulov
Ring	kolobarji	homorfizem kolobarjev
Set	množice	funkcije
Top	topološki prostori	zvezne funkcije
Uni	uniformni prostori	uniformno zvezne funkcije
VectK	vektorski prostori nad obsegom K	K-linearne preslikave
Rel	množica	binarna relacija
Ab	Abelova grupa	morfizem grup
Grp	grupe	morfizem grup
Ord	urejena množica	monotona funkcija

Dualna kategorija

Kategorija $C \,$, ki ima objekte enake kot prvotna kategorija in ima puščice obrnjene se imenuje dualna (nasprotna) kategorija. Označuje se z $C^{op} \,$

Produkt kategorij

Če imamo dve kategoriji $C \,$ in $D \,$, lahko tvorimo produkt kategorij $C \times D \,$. Objekti v tej nastali kategoriji so paroma sestavljeni iz po enega objekta iz kategorije $C \,$ in enega objekta iz kategorije $D \,$. Morfizem nove kategorije je prav tako par sestavljen iz po enega morfizma kategorije $C \,$ in enega morfizma iz kategorije $D \,$.

Mala kategorija

Kategorija $C \,$ se imenuje mala kategorija, če sta $ob(C) \,$ in $hom(C) \,$ množici in ne lastni množici (razred, ki ni množica).

Zunanje povezave

• Kategorija na MaFiRa (v slovenščini)