Heavisidova skočna funkcija

Heavisidova skočna funkcija pri dogovoru, da je vrednost funkcije za x = 0 enaka 1/2

Heavisidova skóčna fúnkcija H, imenovana tudi enôtina stopníca, enôtska skóčna fúnkcija, oziroma ~ koráčna fúnkcija ali kar Heavisidova fúnkcija [hevisájdova ~], je nezvezna funkcija, ki ima vrednost 0 za negativne argumente in 1 za pozitivne. Skoraj nikoli ni pomembno kakšna vrednost se vzame za H(0), ker se $H$ večinoma uporablja kot verjetnostna porazdelitev.

Funkcija se uporablja v matematiki teorije upravljanja in analizi signalov za predstavitev signala, ki se v določenem času prižge in v takšnem stanju ostane neskončno dolgo. Funkcijo so poimenovali v čast angleškega matematika, fizika in elektrotehnika Oliverja Heavisida.

Funkcija je zbirna porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke, ki je skoraj gotovo enaka 0.

Heavisidova funkcija je primitivna funkcija Diracove funkcije δ: H′ = δ, kar zapišemo tudi kot:

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t \!\, ,$

čeprav ta razvoj ne velja (ali nima smisla) za x = 0, kar je odvisno od načina opredelitve pomena integralov za δ.

Nezvezna oblika

Določiti je moč tudi drugo obliko enotske skočne funkcije kot funkcijo diskretne spremenljivke n:

$H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}, \quad n \in \mathbb{Z} \!\, ,$

Nezvezno časovni enotski sunek je prva razlika nezvezno časovnega skoka:

$\delta[n] = H[n] - H[n-1] \!\, .$

Ta funkcija je zbirna vsota Kroneckerjevega delta:

$H[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \!\, ,$

kjer je:

$\delta[k] = \delta_{k,0} \!\, ,$

nezvezna enotska sunkovna funkcija.

Analitični približki

Za gladko aproksimacijo skočne funkcije lahko uporabimo logistično funkcijo:

$H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(kx) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}} \!\, ,$

kjer večji k odgovarja ostremu prehodu v x = 0. Če vzamemo $H(0) = 1/2$, enakost velja v limiti:

$H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}} \!\, .$

Za skočno funkcijo obstaja več drugih gladkih, analitičnih aproksimacij. Na primer:

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \!\, ,$

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \!\, .$

Ti približki konvergirajo po točkah k skočni funkciji, drugače pa te porazdelitve ne konvergirajo strogo k porazdelitvi delta. Posebej ima merljiva množica:

$\bigcup_{n=0}^{\infty}[2^{-2n};2^{-2n+1}] \!\,$

v porazdelitvi δ mero 0, njena mera pa se pri vsaki družini gladkih aproksimacij veča z naraščajočim k.

Predstavitve

Velikokrat je uporabna integralska oblika Heavisidove skočne funkcije:

$H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} -{1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau \!\, .$

H(0)

Vrednost funkcije v 0 lahko določimo kot H(0) = 0, H(0) = 1/2 ali H(0) = 1. H(0) = 1/2 je najbolj skladna izbira, saj najbolj poveča simetrijo funkcije in postane v celoti skladna s funkcijo predznaka $\sgn(x)$. To vodi do bolj splošne definicije:

$H(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \!\, .$

Da zmanjšamo dvoumnost katero vrednost vzeti za H(0), lahko uporabimo indeks, ki označuje možno vrednost:

$H_a(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \!\, .$

Primitivna funkcija in odvod

Primitivna funkcija Heavisidove skočne funkcije je nagibna funkcija:

$R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi \!\, .$

Odvod Heavisidove skočne funkcije je Diracova funkcija δ:

$\frac{dH(x)}{dx} = \delta(x) \!\, .$

Fourierjeva transformacija

Fourierjeva transformacija Heavisidove skočne funkcije je porazdelitev. Z izbiro konstant za definicijo Fourierjeve transformacije imamo:

$\hat{H}(s) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} \mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} x s} H(x)\, dx = \frac{1}{2} \left( \delta(s) - \frac{ \mathrm{i}}{\pi s} \right) \!\, .$

Tukaj je treba člen $1/s$ obravnavati kot porazdelitev, kjer je testna funkcija $\phi$ Cauchyjeva glavna vrednost $\int\limits^{\infty}_{-\infty} \phi(x)/x\, dx$.

Glej tudi

• pravokotniška funkcija
• prehodna funkcija
• porazdelitev delta
• funkcija predznaka
• Laplaceova transformacija