Laplaceova transformacija

Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija, ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s:

${\mathcal L} \left[ f \left( t \right) \right] = F\left( s \right) = \int_{0}^{\infty } e^{-st}f \left( t \right)\;dt.$

Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0.

Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega matematika, fizika in astronoma markiza Pierre-Simona de Laplacea, ki jo je razvil.

Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplaceove transformacije so razvidne iz razpredelnice:

$f(t)$	$F(s)$
$a_{1}\cdot f_{1}\left( t \right) + a_{2}\cdot f_{2}\left( t \right)$	$a_{1}\cdot F_{1}\left( s \right) + a_{2}\cdot F_{2}\left( s \right)$
$\delta \left( t \right)$	$1$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t^{n}, n\in {\mathcal N}$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$t^{\alpha}, \alpha\in {\mathcal R}, \alpha > 0$	$\frac{\Gamma \left( \alpha+1 \right)}{s^{\alpha+1}}$
$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
$t^{n}\cdot e^{-at}$	$\frac{n!}{\left( s+a\right) ^{n+1}}$
$\sin \, at$	$\frac{a}{\left( s^{2}+a^{2}\right) }$
$\cos \, at$	$\frac{s}{\left( s^{2}+a^{2}\right) }$
$\sin \left( at+\varphi \right)$	$\frac{s\cdot \sin \varphi +a\cdot \cos \varphi }{\left( s^{2}+a^{2}\right) }$
$\sinh \, at$	$\frac{a}{\left( s^{2}-a^{2}\right) }$
$\cosh \, at$	$\frac{s}{\left( s^{2}-a^{2}\right) }$
$f \left( at\right)$	$\frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a}\right)$
$f \left( t\right) e^{at}$	$F\left( s-a\right)$
$f \left( t-a\right)$	$F\left( s\right) e^{-as}$
$\int_{0}^{t}f\left( \tau \right) \!d\tau$	$\frac{F\left( s\right) }{s}$
$\int_{0}^{t}f\left( t-\tau \right) g\left( \tau \right) \!d\tau$	$F\left( s\right) G\left( s\right)$
$\frac{df\left( t\right) }{dt}$	$sF\left( s\right) -f\left( 0\right)$
$\frac{d^{n}f\left( t\right) }{dt^{n}}$	$s^{n}F\left( s\right) -s^{n-1}f\left( 0\right) -s^{n-2}f'\left( 0\right) -\ldots -sf^{(n-2)}\left( 0\right) -f^{(n-1)}\left( 0\right)$

Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:

$F\left( s\right) =\int_{0}^{T}f\left( t\right) e^{-st}\!dt\cdot \frac{1}{1-e^{-sT}}.$

Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:

$f \left( t \right) = {\mathcal L}^{-1} \left[ F\left( s \right) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma -i\infty }^{\gamma +i \infty } e^{st}F\left( s \right)\!ds.$

V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz razpredelnice in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te razpredelnice.

Kot lahko opazimo v razpredelnici, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije, v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplaceovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.

Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)