Laplaceova transformacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija, ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s:


{\mathcal L} \left[ f \left( t \right) \right] = F\left( s \right) = \int_{0}^{\infty } e^{-st}f \left( t \right)\;dt.

Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0.

Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega matematika, fizika in astronoma markiza Pierre-Simona de Laplacea, ki jo je razvil.

Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplaceove transformacije so razvidne iz razpredelnice:

f(t) F(s)
a_{1}\cdot f_{1}\left( t \right) + a_{2}\cdot f_{2}\left( t \right) a_{1}\cdot F_{1}\left( s \right) + a_{2}\cdot F_{2}\left( s \right)
\delta \left( t \right) 1
1 \frac{1}{s}
t^{n}, n\in {\mathcal N} \frac{n!}{s^{n+1}}
t^{\alpha}, \alpha\in {\mathcal R}, \alpha > 0 \frac{\Gamma \left( \alpha+1 \right)}{s^{\alpha+1}}
e^{-at} \frac{1}{s+a}
t^{n}\cdot e^{-at} \frac{n!}{\left( s+a\right) ^{n+1}}
\sin \, at \frac{a}{\left( s^{2}+a^{2}\right) }
\cos \, at \frac{s}{\left( s^{2}+a^{2}\right) }
\sin \left( at+\varphi \right) \frac{s\cdot \sin \varphi +a\cdot \cos \varphi }{\left( s^{2}+a^{2}\right) }
\sinh \, at \frac{a}{\left( s^{2}-a^{2}\right) }
\cosh \, at \frac{s}{\left( s^{2}-a^{2}\right) }
f \left( at\right) \frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a}\right)
f \left( t\right) e^{at} F\left( s-a\right)
f \left( t-a\right) F\left( s\right) e^{-as}
\int_{0}^{t}f\left( \tau \right) \!d\tau \frac{F\left( s\right) }{s}
\int_{0}^{t}f\left( t-\tau \right) g\left( \tau \right) \!d\tau F\left( s\right) G\left( s\right)
\frac{df\left( t\right) }{dt} sF\left( s\right) -f\left( 0\right)
\frac{d^{n}f\left( t\right) }{dt^{n}} s^{n}F\left( s\right) -s^{n-1}f\left( 0\right) -s^{n-2}f'\left( 0\right) -\ldots -sf^{(n-2)}\left( 0\right) -f^{(n-1)}\left( 0\right)

Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:


F\left( s\right) =\int_{0}^{T}f\left( t\right) e^{-st}\!dt\cdot \frac{1}{1-e^{-sT}}.

Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:


f \left( t \right) = {\mathcal L}^{-1} \left[ F\left( s \right) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma -i\infty }^{\gamma +i \infty } e^{st}F\left( s \right)\!ds.

V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz razpredelnice in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te razpredelnice.

Kot lahko opazimo v razpredelnici, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije, v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplaceovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.

Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)


Integralske transformacije
Abelova | Besslova | Fourierjeva | Fresnelova | Hanklova | Hartleyjeva | Hilbertova | Istovetna | Kontoroviča-Lebedeva | Laplaceova | Laplace-Stieltjesova | Mellinova | Radonova | Valovna