Riceova porazdelitev

Riceova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=1,0).
Funkcija gostote verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=0,25).
Zbirna funkcija verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=1,0).
Zbirna funkcija verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=0,25).
oznaka	$Rice(\sigma ,\nu )\!$
parametri	$\nu \geq 0\,$ $\sigma \geq 0\,$
interval	$x\in [0;\infty )$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)J_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)$ kjer je $Q_{1}$ Marcumova Q-funkcija
pričakovana vrednost	$\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{{1/2}}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$
mediana
modus
varianca	$2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{{1/2}}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
simetrija	(komplicirana)
sploščenost	(komplicirana)
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Riceova porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po ameriškem začetniku teorije komunikacij in statistiku Stephenu O.Riceu (1907 - 1986).

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za Riceovo porazdelitev je

$f(x|\nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),$

kjer je

$J_{0}(z)\!$ Besslova funkcija prve vrste ničelnega reda.

Kadar je $\nu =0\!$ dobimo Rayleighjevo porazdelitev.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)$

kjer je

$Q_{1}$ Marcumova Q-funkcija.

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

$\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{{1/2}}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$ .

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

$2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{{1/2}}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je zelo komplicirana funkcija.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je je zelo komplicirana funkcija.

Momenti[uredi | uredi kodo]

Prvih nekaj momentov je

$\mu _{1}=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{{1/2}}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$

$\mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,$

$\mu _{3}=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{{3/2}}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$

$\mu _{4}=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,$

$\mu _{5}=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{{5/2}}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$

$\mu _{6}=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\,$

kjer je

$L_{\nu }(x)=L_{\nu }^{0}(x)=M(-\nu ,1,x)=\,_{1}F_{1}(-\nu ;1;x)$
$\nu \!$ je parameter porazdelitve

pri tem pa $L_{\nu }\ (x)\!$ pomeni Laguerrov polinom.

Kadar je $\nu =1/2\!$ velja

$L_{{1/2}}(x)=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)$

$=e^{{x/2}}\left[\left(1-x\right)J_{0}\left({\frac {-x}{2}}\right)-xJ_{1}\left({\frac {-x}{2}}\right)\right].$

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Slučajna spremenljivka $R\!$ ima Riceovo porazdelitev $R\sim {\mathrm {Rice}}\left(\sigma ,\nu \right)$ , če je $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ , kjer sta $X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)$ in $Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)$ dve neodvisni in normalno porazdeljeni in je $\theta$ realno število.