Gaussova konstanta: Razlika med redakcijama
m m/pnp |
m m/dp |
||
Vrstica 12: | Vrstica 12: | ||
: <math> G = \frac{1}{2\pi}\operatorname{\Beta} \left( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2} \right) \!\, , </math> |
: <math> G = \frac{1}{2\pi}\operatorname{\Beta} \left( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2} \right) \!\, , </math> |
||
kjer je |
kjer je <math>\Beta\, </math> [[funkcija beta|funkcija Β]]. |
||
Gaussove konstante ne |
Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z [[Gaussova gravitacijska konstanta|Gaussovo gravitacijsko konstanto]]. |
||
== Povezava z drugimi konstantami == |
== Povezava z drugimi konstantami == |
||
Z Gaussovo konstanto lahko |
Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi [[funkcija gama|funkcijo Γ]] za [[argument (kompleksna analiza)|argument]] 1/4: |
||
: <math> \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, . </math> |
: <math> \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, . </math> |
||
Vrstica 26: | Vrstica 26: | ||
=== Lemniskatini konstanti === |
=== Lemniskatini konstanti === |
||
S pomočjo Gaussove konstante lahko |
S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti: |
||
: <math> L_{1} = \pi G = \frac{\pi}{M} \!\, , </math> |
: <math> L_{1} = \pi G = \frac{\pi}{M} \!\, , </math> |
||
Vrstica 56: | Vrstica 56: | ||
Gaussova konstanta je podana tudi z [[neskončni produkt|neskončnim produktom]]: |
Gaussova konstanta je podana tudi z [[neskončni produkt|neskončnim produktom]]: |
||
: <math> G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \frac{\pi m}{2} \!\, . </math> |
: <math> G = \prod_{m = 1}^{\infty} \tanh^{2} \frac{\pi m}{2} \!\, . </math> |
||
Pojavi se pri izračunavanju [[integral]]ov: |
Pojavi se pri izračunavanju [[integral]]ov: |
||
: <math> {\frac{1}{G}} = \ |
: <math> {\frac{1}{G}} = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\sin x} \, \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos x} \, \mathrm{d} x \!\, , </math> |
||
: <math> G = \ |
: <math> G = \int_{0}^{\infty}{\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cosh \pi x }}} \!\, . </math> |
||
Neskončni [[verižni ulomek]] Gaussove konstante je {{OEIS|id=A053002}}: |
Neskončni [[verižni ulomek]] Gaussove konstante je {{OEIS|id=A053002}}: |
||
Vrstica 76: | Vrstica 76: | ||
== Sklici == |
== Sklici == |
||
{{sklici|2}} |
{{sklici|2}} |
||
== Viri == |
== Viri == |
||
* {{ |
* {{citat|last1= Chudnovsky|first1= Gregory|authorlink1= Gregory Chudnovsky|title= Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis|journal= [[Notices of the AMS]]|volume= 22|year= 1975|pages= A-486|ref= harv}} |
||
* {{ |
* {{citat|last1= Chudnovsky|first1= Gregory|authorlink1= |title= Contributions to the theory of transcendental numbers|publisher= [[Ameriško matematično društvo]]|year= 1984|isbn= 0-8218-1500-8|url=http://books.google.com/books?id=j0o4o0IxdXYC&pg=PA8|ref= harv}} |
||
* {{ |
* {{citat|last1= Schneider|first1= Theodor|authorlink1= Theodor Schneider|url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002278537|title= Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale|journal= [[Mathematische Annalen]]|year= 1937|volume= 113|pages= 1–13|ref= harv}} |
||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
||
* {{MathWorld| |
* {{MathWorld|id=GausssConstant|title=Gauss's Constant}} |
||
[[Kategorija:Matematične konstante]] |
[[Kategorija:Matematične konstante]] |
Redakcija: 15:26, 15. avgust 2015
Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena iz 2 (OEIS A014549):
Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:
tako, da je:
kjer je funkcija Β.
Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.
Povezava z drugimi konstantami
Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:
Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]
Lemniskatini konstanti
S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:
ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]
Druge formule
Formula za G z Jacobijevo funkcijo θ je:
ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:
Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:
Pojavi se pri izračunavanju integralov:
Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):
Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.
Glej tudi
Sklici
- ↑ Schneider (1937).
- ↑ Chudnovsky (1975).
- ↑ Chudnovsky (1984), str. 8.
Viri
- Chudnovsky, Gregory (1975), »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«, Notices of the AMS, 22: A-486
{{citation}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč) - Chudnovsky, Gregory (1984), Contributions to the theory of transcendental numbers, Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1500-8
{{citation}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč) - Schneider, Theodor (1937), »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«, Mathematische Annalen, 113: 1–13
{{citation}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč)