Helikoid: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 03:34, 15. marec 2012

Helikoid je za ravnino in katenoidom tretja znana minimalna ploskev.

Njeno ime izhaja iz podobnosti z vijačnico (iz grške besede starogrško έλικας/starogrško έλιξ kar pomeni spirala). Vsaki točki na helikoidu pripada vijačnica, ki teče skozi to točko.

Helikoid je odkril francoski matematik in inženir Jean Baptiste Meusnier (1754 – 1793) v letu 1776.

Helikoid je premonosna ploskev. To pomeni, da je za vsako točko na ploskvi možno najti premico, ki teče skozi njo, oziroma preseki vodoravnih ravnin in helikoida so premice. Belgijski matematik Eugène Charles Catalan je v letu 1842 dokazal, da sta helikoid in ravnina edini minimalni premonosni ploskvi.^[1]

Ploskev helikoida dobimo tudi, če se končno dolga daljica, pravokotna na os, giblje vzdolž osi z enakomerno hitrostjo in se pri tem vrti okrog nje. Helikoid in katenoid sta člana helikoidno-katenoidne družine minimalnih ploskev.

Helikoid ima obliko Arhimedovega vijaka. Opišemo ga lahko s tremi parametričnimi enačbami v kartezičnem koordinatnem sistemu:

x=\rho \cos(\alpha \theta )\!\,,

y=\rho \sin(\alpha \theta )\!\,,

z=\theta \!\,,

kjer lahko $\rho$ in $\theta$ zavzameta vrednosti od negativne do pozitivne neskončnosti in $a$ je konstanta. Kadar je $a$ pozitiven je helikoid desnosučen (glej sliko), sicer je levosučen.

V cilindričnih koordinatah je enačba helikoida enaka:

z=c\theta

^[2].

V kartezičnih koordinatah pa je enačba helikoida:

{y \over x}=\tan({z \over c})

^[2]

Helikoid ima glavno ukrivljenost enako $\pm 1/(1+\rho ^{2})\$ . Vsota teh dveh vrednosti nam da srednjo ukrivljenost (je enaka nič, ker je helikoid minimalna ploskev). Zmnožek nam pa da Gaussovo ukrivljenost, ki je za helikoid enaka:

{\frac {c^{2}}{(c^{2}+u^{2})^{2}}}

^[2]

Helikoid je homeomorfen z ravnino $\mathbb {R} ^{2}$ .

Helikoid in katenoid sta lokalno izometrični ploskvi.

Animacija, ki kaže spremembo helikoida v katenoid.

Glej tudi

Opombe in sklici

↑ Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0821845527, 9780821845523, s. 33
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Helikoid na MathWorld

Zunanje povezave

Helikoid na WolframAlpha (angleško)
Helikoid na PlanetMath (angleško)
Helikoid kot minimalna ploskev (angleško)

[1] Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0821845527, 9780821845523, s. 33

[Math-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Helikoid na MathWorld

[1]

[2]

@@ Vrstica 13: / Vrstica 13: @@
 ISBN 0821845527, 9780821845523, s. 33</ref>
-Ploskev helikoida dobimo tudi, če se končno dolga daljica giblje vzdolž osi in se pri tem vrti okrog nje. Helikoid in katenoid sta člana helikoidno-katenoidne družine minimalnih ploskev.
+Ploskev helikoida dobimo tudi, če se končno dolga daljica, [[pravokotnost|pravokotna]] na os, giblje vzdolž osi z enakomerno [[hitrost]]jo in se pri tem vrti okrog nje. Helikoid in katenoid sta člana helikoidno-katenoidne družine minimalnih ploskev.
-Helikoid ima obliko [[Arhimedov vijak|Arhimedovega vijaka]]. Opišemo ga lahko s [[parametrična enačba|parametrično enačbo]] v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]]
+Helikoid ima obliko [[Arhimedov vijak|Arhimedovega vijaka]]. Opišemo ga lahko s tremi [[parametrična enačba|parametričnimi enačbami]] v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]]:
-:<math> x = \rho \cos (\alpha \theta), \ </math>
-:<math> y = \rho \sin (\alpha \theta), \ </math>
+: <math> x = \rho \cos (\alpha \theta) \!\, , </math>
-:<math> z = \theta, \ </math>
+: <math> y = \rho \sin (\alpha \theta) \!\, , </math>
+: <math> z = \theta \!\, , </math>
-kjer lahko <math> \rho </math> in <math> \theta </math> zavzameta vrednosti od negativne  do pozitivne neskončnosti
-in <math> a </math> je [[konstanta]].
-Kadar je <math> a </math> pozitiven je helikoid desnosučen (glej sliko), sicer je levosučen.
+kjer lahko <math> \rho </math> in <math> \theta </math> zavzameta vrednosti od negativne  do pozitivne neskončnosti in <math> a </math> je [[konstanta]]. Kadar je <math> a </math> pozitiven je helikoid desnosučen (glej sliko), sicer je levosučen.
+V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnih koordinatah]] je enačba helikoida enaka:
-V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnem koordinatnem sistemu]] je enačba helikoida enaka
 : <math> z = c \theta </math> <ref name=Math/>.
-V [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]] pa je enačba helikoida
+V kartezičnih koordinatah pa je enačba helikoida:
-:<math> {y \over x} = \tan ({z \over c}) </math> <ref name=Math/>
+: <math> {y \over x} = \tan ({z \over c}) </math> <ref name=Math/>
+Helikoid ima [[glavna ukrivljenost|glavno ukrivljenost]] enako <math>\pm 1/(1+ \rho ^2) \ </math>. Vsota teh dveh vrednosti nam da [[srednja ukrivljenost|srednjo ukrivljenost]] (je enaka nič, ker je helikoid minimalna ploskev). Zmnožek nam pa da [[Gaussova ukrivljenost|Gaussovo ukrivljenost]], ki je za helikoid enaka:
-Helikoid ima [[glavna ukrivljenost|glavno ukrivljenost]] enako <math>\pm 1/(1+ \rho ^2) \ </math>. Vsota teh dveh vrednosti nam da [[srednja ukrivljenost|srednjo ukrivljenost]] (je enaka nič, ker je helikoid minimalna ploskev). Zmnožek nam pa da [[Gaussova ukrivljenost|Gaussovo ukrivljenost]], ki je za helikoid enaka
 : <math> \frac {c^2} {( c^2 + u^2)^2} </math> <ref name=Math>[http://mathworld.wolfram.com/Helicoid.html Helikoid na [[MathWorld]] ]</ref>