Gaussova ukrivljenost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Od leve proti desni: ploskev z negativno Gaussovo ukrivljenostjo, (hiperboloid), ploskev z ničelno Gaussovo ukrivljenostjo (valj) in ploskev s pozitivno Gaussovo ukrivljenostjo (sfera).

Gaussova ukrívljenost [gáusova ~] (oznaka ) v določeni točki na ploskvi je v diferencialni geometriji produkt glavnih ukrivljenosti κ1 in κ2 v tej točki. To vrsto ukrivljenosti imenujemo tudi notranja ukrivljenost, ker je njena vrednost odvisna samo od načina merjenja razdalj na ploskvi, ne pa od tega kako je izometrično vložena v prostor. To je tudi vsebina Gaussovega izreka egregium (veličastni izrek).

Gaussovo ukrivljenost določimo z:

kjer sta

Drugačna definicija[uredi | uredi kodo]

Gaussova ukrivljenost je dana tudi z:

kjer je

Totalna ukrivljenost[uredi | uredi kodo]

Vsota kotov v trikotniku na ploskvi z negativno ukrivljenostjo je manjša kot pri trikotniku v ravnini.

Površinski integral Gaussove ukrivljenosti preko določenega področja ploskve se imenuje totalna ukrivljenost. Totalna ukrivljenost geodetskega trikotnika je enaka odklonu vsote trikotnikovih kotov od . Vsota kotov trikotnika na ploskvi s pozitivno ukrivljenostjo bo večja kot , na ploskvi z negativno ukrivljenostjo pa bo manjša od . Na ploskvah z ničelno ukrivljenostjo (Evklidska ravnina) pa je vsota kotov točno enaka . V splošnem pa velja:

Še splošnejša oblika pa je Gauss-Bonnettov izrek.

Še nekaj definicij[uredi | uredi kodo]

  • Gaussova ukrivljenost ploskve v R3 se lahko prikaže kot razmerje med determinantama druge in prve fundamentalne forme:
  • Za pravokotno parametrizacijo je Gaussova ukrivljenost:
  • Za ploskev, ki jo opišemo kot kot graf funkcije , je Gaussova ukrivljenost:
  • Za ploskev je Gaussova ukrivljenost enaka: [1]
  • Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med obsegom geodetke in krožnice v ravnini [2]:
  • Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med površino geodetskega kroga in in kroga v ravnini [2]:

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld
  2. ^ 2,0 2,1 Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
  3. ^ Struik, Dirk (1988). Lectures on Classical Differential Geometry. Courier Dover Publications. ISBN 0486656098.  line feed znak v |publisher= na poziciji 14 (pomoč)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]