Porazdelitev hi

Porazdelitev hi
Funkcija gostote verjetnosti za hi porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi porazdelitev.
oznaka	$\chi (k)\!$ ali $Chi(k)\!$
parameter	$k>0\,$ (prostostne stopnje)
interval	$x\in [0;\infty )$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
pričakovana vrednost	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
mediana
modus	${\sqrt {k-1}}\,$ za $k\geq 1$
varianca	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
simetrija	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
sploščenost	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
entropija	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
funkcija generiranja momentov (mgf)	komplicirana (glej opis lastnosti)
karakteristična funkcija	komplicirana (glej opis lastnosti)

Porazdelitev hi (porazdelitev chi) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Porazdelitev hi dobimo v primeru uporabe neodvisnih komponent k-dimenzionalnega verjetnostnega vektorja, od katerih je vsaka porazdeljena po normalni porazdelitvi. Dolžine vektorjev so v tem primeru porazdeljene po hi porazdelitvi s k prostostnimi stopnjami.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

{\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}

kjer je

$\Gamma (k/2)\!$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

P(k/2,x^{2}/2)\,

kjer je

$P(k,x)\!$ regulirana funkcija gama

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}

.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,

.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

{\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+

t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+

it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)

kjer je

$M(a,b,z)$ Kummerjeva konfluentna hipergeometrična funkcija.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

če ima slučajna spremenljivka $X\!$ porazdelitev hi, tako, da je $X\sim \chi _{k}(x)\!$ , potem ima slučajna spremenljivka $X^{2}\!$ porazdelitev hi $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$
Rayleighjeva porazdelitev s $\sigma =1$ ima hi porazdelitev z dvema stopnjama prostosti.
Boltzmannova porazdelitev (Maxwellova porazdelitev) za normalizirane hitrosti molekul se podreja hi porazdelitvi s tremi prostostnimi stopnjami .
Če ima slučajna spremenljivka $X\!$ hi porazdelitev z 1 prostostno stopnjo, potem ima σX polnormalno porazdelitev za katerokoli nenegativno vrednost σ.