Porazdelitev hi

Porazdelitev hi
Funkcija gostote verjetnosti za hi porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi porazdelitev.
oznaka	$\chi (k)\!$$\chi (k)\!$ ali $Chi(k)\!$$Chi(k)\!$
parameter	$k>0\,$$k>0\,$ (prostostne stopnje)
interval	$x\in [0;\infty )$$x\in [0;\infty )$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}$${\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$P(k/2,x^{2}/2)\,$$P(k/2,x^{2}/2)\,$
pričakovana vrednost	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
mediana
modus	${\sqrt {k-1}}\,$${\sqrt {k-1}}\,$ za $k\geq 1$$k\geq 1$
varianca	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
simetrija	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
sploščenost	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
entropija	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
funkcija generiranja momentov (mgf)	komplicirana (glej opis lastnosti)
karakteristična funkcija	komplicirana (glej opis lastnosti)

Porazdelitev hi (porazdelitev chi) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Porazdelitev hi dobimo v primeru uporabe neodvisnih komponent k-dimenzionalnega verjetnostnega vektorja, od katerih je vsaka porazdeljena po normalni porazdelitvi. Dolžine vektorjev so v tem primeru porazdeljene po hi porazdelitvi s k prostostnimi stopnjami.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

${\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}$${\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}$

kjer je

• $\Gamma (k/2)\!$$\Gamma (k/2)\!$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$P(k/2,x^{2}/2)\,$$P(k/2,x^{2}/2)\,$

kjer je

• $P(k,x)\!$$P(k,x)\!$ regulirana funkcija gama

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$.

Varianca

Varianca je enaka

$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+$$M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+$

$t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)$$t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+$$\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+$

$it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)$$it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)$

kjer je

• $M(a,b,z)$$M(a,b,z)$ Kummerjeva konfluentna hipergeometrična funkcija.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• če ima slučajna spremenljivka $X\!$$X\!$ porazdelitev hi, tako, da je $X\sim \chi _{k}(x)\!$$X\sim \chi _{k}(x)\!$, potem ima slučajna spremenljivka $X^{2}\!$$X^{2}\!$ porazdelitev hi $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$$X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$
• Rayleighjeva porazdelitev s $\sigma =1$$\sigma =1$ ima hi porazdelitev z dvema stopnjama prostosti.
• Boltzmannova porazdelitev (Maxwellova porazdelitev) za normalizirane hitrosti molekul se podreja hi porazdelitvi s tremi prostostnimi stopnjami .
• Če ima slučajna spremenljivka $X\!$$X\!$ hi porazdelitev z 1 prostostno stopnjo, potem ima σX polnormalno porazdelitev za katerokoli nenegativno vrednost σ.

Zunanje povezave

• Opis porazdelitve hi (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev