Logaritemsko normalna porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Logaritemsko normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.
oznaka \log-\mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)
parametri \sigma^2 > 0\!
 \mu \boldsymbol{\epsilon} R \!parameter lokacije
interval  x \boldsymbol{\epsilon} (0, \infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac12 + \frac12\,\mathrm{erf}\Big[\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big]
pričakovana vrednost e^{\mu+\sigma^2/2}
mediana e^{\mu}\,
modus e^{\mu-\sigma^2}
varianca (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
simetrija (e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
sploščenost e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 3
entropija \frac12 + \frac12 \ln(2\pi\sigma^2) + \mu
funkcija generiranja momentov
(mgf)
(določena je samo za
negativne vrednosti na intervalu (0, -\infty]\!)
karakteristična funkcija lahko uporabljamo obrazec
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2},
ki je asimptotično divergenten,
vendar primeren za izračunavanje

Logaritemska normalna porazdelitev (tudi lognormalna porazdelitev ali Galtonova porazdelitev) je družina dvoparametričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev slučajne spremenljivke, katere logaritem je normalno porazdeljen.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev je

f_X(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}},\ \ x>0.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

F_X(x;\mu,\sigma) = \frac12 \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] \!

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

e^{\mu+\sigma^2/2}.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je

e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 3.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak

(e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je določena je samo za negativne vrednosti na intervalu (0, -\infty]\!.

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Za karakteristično funkcijo lahko uporabimo obrazec

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}, ki je sicer asimptotično divergenten, toda je uporaben za izračunavanje.

.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Če ima slučajna spremenljivka X \! logaritemsko normalno porazdelitev X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2), potem je \ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) normalno porazdeljena slučajna spremenljivka.
  • Če so X_j \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu_j, \sigma_j^2) statistično neodvisne slučajne spremenljivke, ki so logaritemsko normalno porazdeljene, in če velja Y = \textstyle\prod_{j=1}^n X_j, potem je slučajna spremenljivka X \! tudi logaritemsko normalno porazdeljena, kar zapišemo kot

Y \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}\Big(\textstyle \sum_{j=1}^n\mu_j,\ \sum_{j=1}^n \sigma_j^2 \Big)..

  • Če je slučajna spremenljivka X \! porazdeljena logaritemsko normalno X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2), potem pravimo, da ima X + c \! premaknjeno logaritemsko normalno porazdelitev.
  • Kadar ima slučajna spremenljivka X \! logaritemsko normalno porazdelitev X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2), potem ima slučajna spremenljivka Y = Y.a \! tudi logaritemsko normalno porazdelitev Y \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}( \ln a+\mu,\ \sigma^2).
  • Kadar ima slučajna spremenljivka X \! logaritemsko normalno porazdelitev X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2), potem ima tudi Y = 1/X \! logaritemsko normalno porazdelitev Y \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(-\mu,\ \sigma^2).

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]