Kroneckerjev produkt

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kroneckerjev produkt (oznaka ) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823–1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo matrika z razsežnostjo in naj bo z razsežnostjo , potem je Kroneckerjev produkt bločna matrika z razsežnostjo :

.

Bolj točno je to enako:

.

Če sta in linearni transformaciji in , potem je tenzorski produkt dveh preslikav .

Zgledi[uredi | uredi kodo]

.
.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta:

  • .

kjer je

    • matrika
    • matrika
    • matrika
    • skalar

Komutativnost[uredi | uredi kodo]

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki in različni. To se zapiše kot :. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstajata dve matriki in tako, da je:

.

Č e pa sta matriki in kvadratni, potem sta ali pa permutacijsko podobni, kar pomeni, da je .

Mešani produkt[uredi | uredi kodo]

Če so matrike , , in takšne, da se lahko določi in , potem velja tudi:

.

Transponiranje[uredi | uredi kodo]

Transponiranje Kroneckerjevega produkta da:

.

Druge značilnosti[uredi | uredi kodo]

.
  • sled je za kvadratne matrike enaka:
  • če ima matrika razsežnost in matrika razsežnost , potem za determinanto velja:
  • če so lastne vrednosti matrike in lastne vrednosti matrike , potem so:
lastne vrednosti matrike
  • kadar sta matriki in obrnljivi velja tudi:
  • kadar imajo matrike in razsežnosti:

in sta matriki in definirani, potem velja[1]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Steeb (1991), str. 16.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]