Kroneckerjev produkt

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kroneckerjev produkt (oznaka ) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta ne smemo zamenjati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823 – 1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo matrika z razsežnostjo in naj bo z razsežnostjo , potem je Kroneckerjev produkt bločna matrika z razsežnostjo

.

Bolj natančno je to enako

.

Če sta in linearni transformaciji in , potem je tenzorski produkt dveh preslikav .

Primeri[uredi | uredi kodo]

.
.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta

  • .

kjer je

    • matrika
    • matrika
    • matrika
    • skalar

Komutativnost[uredi | uredi kodo]

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki in različni. To zapišemo kot :. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstojata dve matriki in tako, da je

.

Č e pa sta matriki in kvadratni, potem sta ali pa permutacijsko podobni, kar pomeni, da je .

Mešani produkt[uredi | uredi kodo]

Če so matrike , , in takšne, da lahko določimo in , potem velja tudi

.

Transponiranje[uredi | uredi kodo]

Transponiranje Kroneckerjevega produkta nam da

.

Ostale lastnosti[uredi | uredi kodo]

.
  • sled je za kvadratne matrike enaka
  • če ima matrika razsežnost in matrika razsežnost , potem za determinanto velja
  • če so lastne vrednosti matrike in lastne vrednosti matrike , potem so
lastne vrednosti matrike
  • kadar sta matriki in obrnljivi velja tudi
  • kadar imajo matrike in razsežnosti

in sta matriki in definirani, potem velja [1]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]