Karakteristični polinom (linearna algebra)

Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik (npr. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike).

Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti.

Definicija

Dano imamo kvadratno matriko $A\,$ in zanjo želimo najti polinom, katerega rešitve so lastne vrednosti matrike $A\,$.

Za matriko $A\,$ velja

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\,$

To lahko napišemo kot

$(\lambda I-A)\mathbf {v} =0\,$

kjer je

• $\mathbf {v} \neq 0$ lastni vektor
• $I\,$ enotska matrika
• $\lambda \,$ je skalar

Matrika $\lambda I-A\,$ je singularna (neobrnljiva), kar pomeni, da je njena determinanta enaka 0.

To tudi pomeni da so $\det(\lambda I-A)\,$ lastne vrednosti matrike $A\,$ oziroma, da je determinanta polinom za $\lambda \,$.

Karakteristični polinom nad obsegom $K\,$ za matriko $n\times n\,$ označimo s $p_{A}(t)\,$. Določen je kot

$p_{A}(t)=\det(tI-A)\,$

kjer je

• $I\,$ enotska matrika $n\times n\,$
• determinanta se vzame v kolobarju $K(t)\,$, to je kolobar polinomov za t nad kolobarjem $K\,$.

Zgled

Določimo karakteristični polinom za matriko

$A={\begin{bmatrix}2&1\\-1&0\end{bmatrix}}.$

Najprej moramo določiti determinanto matrike

$tI-A={\begin{bmatrix}t-2&-1\\1&t\end{bmatrix}}$

Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu, ki je v tem primeru

$(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.\,\!$.

Karakteristična enačba

Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko $\lambda \,$

$\det(A-\lambda I)=0\,$.

Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Zgled: Imamo matriko

$P={\begin{bmatrix}19&3\\-2&26\end{bmatrix}}$.

Karakteristična enačba je

${\begin{aligned}0&{}=\det(P-\lambda I)\\&{}=\det {\begin{bmatrix}19-\lambda &3\\-2&26-\lambda \end{bmatrix}}\\&{}=500-45\lambda +\lambda ^{2}\\&{}=(25-\lambda )(20-\lambda ).\end{aligned}}$.

Iz tega sledi, da sta lastni vrednosti enaki 20 in 25.

Karakteristični polinom zmnožka dveh matrik

Če za matriki $A\,$ (z razsežnostjo $m\times n\,$) in $B\,$ (z razsežnostjo $n\times m\,$) velja, da je $m<n\,$ in ima matrika $AB\,$ razsežnost $m\times m\,$ ter matrika $BA\,$ razsežnost $n\times n\,$, potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka:

$p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,$.

Cayley-Hamiltonov izrek

Cayley-Hamiltonov izrek pravi, da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu. Torej, če je

$p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)\,$

potem velja

$p(A)=0.\,$.

To pomeni, da takrat, ko v karakteristični polinom namesto $\lambda \,$ vstavimo matriko $A\,$, dobimo ničelno matriko (pri tem seveda potenciramo matriko, kjer je potrebno). Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu.

Nekatere značilnosti

• polinom $p_{A}(\lambda )\,$ ima vodilni koeficient enak 1, njegova stopnja pa je $n\,$
• dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma. Obratno pa ne velja:če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma, nista nujno tudi podobni.
• matrika $A\,$ in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom.

Zunanje povezave

• Karakteristični polinom na MathWorld (angleško)
• Karakteristični polinom Arhivirano 2010-06-10 na Wayback Machine. (angleško)
• Karakteristični polinom Arhivirano 2011-07-14 na Wayback Machine. na PlanethMath (angleško)