Karakteristični polinom (linearna algebra)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik (npr. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike).

Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Dano imamo kvadratno matriko in zanjo želimo najti polinom, katerega rešitve so lastne vrednosti matrike .

Za matriko velja

To lahko napišemo kot

kjer je

Matrika je singularna (neobrnljiva), kar pomeni, da je njena determinanta enaka 0.

To tudi pomeni da so lastne vrednosti matrike oziroma, da je determinanta polinom za .

Karakteristični polinom nad obsegom za matriko označimo s . Določen je kot

kjer je

  • enotska matrika
  • determinanta se vzame v kolobarju , to je kolobar polinomov za t nad kolobarjem .

Zgled[uredi | uredi kodo]

Določimo karakteristični polinom za matriko

Najprej moramo določiti determinanto matrike

Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu, ki je v tem primeru

.

Karakteristična enačba[uredi | uredi kodo]

Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko

.

Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Zgled: Imamo matriko

.

Karakteristična enačba je

.

Iz tega sledi, da sta lastni vrednosti enaki 20 in 25.

Karakteristični polinom zmnožka dveh matrik[uredi | uredi kodo]

Če za matriki (z razsežnostjo ) in (z razsežnostjo ) velja, da je in ima matrika razsežnost ter matrika razsežnost , potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka:

.

Cayley-Hamiltonov izrek[uredi | uredi kodo]

Cayley-Hamiltonov izrek pravi, da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu. Torej, če je

potem velja

.

To pomeni, da takrat, ko v karakteristični polinom namesto vstavimo matriko , dobimo ničelno matriko (pri tem seveda potenciramo matriko, kjer je potrebno). Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu.

Nekatere značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • polinom ima vodilni koeficient enak 1, njegova stopnja pa je
  • dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma. Obratno pa ne velja:če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma, nista nujno tudi podobni.
  • matrika in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]