Normalna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Normalna matrika je kompleksna kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic) za katero velja

A^*A=AA^* \

kjer je

To pomeni, da je matrika  A \, normalna, če komutira s svojo konjugirano transponirano matriko. Za realne matrike je to

A^{T} \cdot A = A\cdot A^{T}.

Kvadratna matrika  A \, je normalna, če in samo, če obstoja takšna unitarna matrika  U \, z isto razsežnostjo, da je  U^{-1}AU \, diagonalna matrika. To pravilo se imenuje tudi spektralno pravilo. Elementi diagonalne matrike  U^{-1}AU \, so lastne vrednosti.

Če je  A \, realna matrika, potem je  A^* = A^T \, in je matrika normalna, če je  A^T A = A A^T \,.

Normalnost matrike je primeren test za možnost diagonalizacije matrike. Vsaka normalna matrika se lahko pretvori v diagonalno matriko z enotsko transformacijo in vsaka matrika, ki jo lahko diagonaliziramo z enotsko transformacijo, je normalna matrika.

Med kompleksnimi matrikami so vse unitarne, hermitska in poševnohermitske normalne matrike. Med realnimi matrikami so normalne vse ortogonalne, simetrične in poševnosimetrične matrike (antisimetrične).

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]