Normalna matrika

Normalna matrika je kompleksna kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic) za katero velja

$A^*A=AA^* \$

kjer je

• $A^* \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A \,$.

To pomeni, da je matrika $A \,$ normalna, če komutira s svojo konjugirano transponirano matriko. Za realne matrike je to

$A^{T} \cdot A = A\cdot A^{T}$.

Kvadratna matrika $A \,$ je normalna, če in samo, če obstoja takšna unitarna matrika $U \,$ z isto razsežnostjo, da je $U^{-1}AU \,$ diagonalna matrika. To pravilo se imenuje tudi spektralno pravilo. Elementi diagonalne matrike $U^{-1}AU \,$ so lastne vrednosti.

Če je $A \,$ realna matrika, potem je $A^* = A^T \,$ in je matrika normalna, če je $A^T A = A A^T \,$.

Normalnost matrike je primeren test za možnost diagonalizacije matrike. Vsaka normalna matrika se lahko pretvori v diagonalno matriko z enotsko transformacijo in vsaka matrika, ki jo lahko diagonaliziramo z enotsko transformacijo, je normalna matrika.

Med kompleksnimi matrikami so vse unitarne, hermitska in poševnohermitske normalne matrike. Med realnimi matrikami so normalne vse ortogonalne, simetrične in poševnosimetrične matrike (antisimetrične).

Zunanje povezave

• Normalna matrika na MathWorld (v angleščini)
• Normalne preslikave (v slovenščini)