Diagonalna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diagonalna matrika je kvadratna matrika v kateri so vsi elementi zunaj glavne diagonale enaki 0. Pri tem pa so elementi diagonale enaki nič ali pa tudi ne.

Za matriko  D \, z elementi  d_{ij} \, to pomeni

d_{i,j} = 0 \mbox{ kadar je } i \ne j  \qquad \forall i,j \in 
    \{1, 2, \ldots, n\}..

Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi kot

 a_{ij} = a_i \delta_{ij} \, ,

kjer je

Diagonalne matrike tudi označujemo malo drugače. Zgornjo matriko lahko zapišemo tudi kot:

D = \mathrm{diag}(d_{11}, d_{22,} \dots, d_{nn})
= \begin{bmatrix}
  d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 
  0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
  0 & \cdots & 0 & d_{nn}
\end{bmatrix}.

Enotska matrika je simetrična matrika.

Primeri[uredi | uredi kodo]

Primer diagonalne matrike

D=\begin{bmatrix} 
d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & d_{22} & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & a_{nn}
\end{bmatrix},

Primeri nekaterih posebnih diagonalnih matrik.

Ničelna matrika

~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 0 & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & 0
\end{bmatrix},

ter enotska matrika

E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 
1 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 1 & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & 1
\end{bmatrix},

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

D^{T}=D \,.

Skalarna matrika[uredi | uredi kodo]

Diagonalna matrika, ki ima na diagonali vse elemente enake, se imenuje skalarna matrika. Dobimo jo z množenjem skalarja z enotsko matriko. Primer:

\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}..

Inverzna matrika diagonalne[uredi | uredi kodo]

Diagonalna matrika

\mathrm{diag}(a_1, a_2, ..., a_k)=\begin{pmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_k
\end{pmatrix}

ima inverzno obliko

A^{-1} = \begin{pmatrix}
1/a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & 1/a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & 1/a_k
\end{pmatrix} .

Pravokotne matrike[uredi | uredi kodo]

Pojem diagonalna matrika lahko (zelo redko) razširimo tudi na pravokotne matrike, ki imajo m \times n \, elementov. Dva primera takšnih matrik

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & -3\\
0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}

in

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & -3& 0 & 0\end{bmatrix}. .

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]