Diagonalna matrika

Diagonalna matrika je kvadratna matrika v kateri so vsi elementi zunaj glavne diagonale enaki 0. Pri tem pa so elementi diagonale enaki nič ali pa tudi ne.

Za matriko $D \,$ z elementi $d_{ij} \,$ to pomeni

$d_{i,j} = 0 \mbox{ kadar je } i \ne j \qquad \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}.$.

Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi kot

$a_{ij} = a_i \delta_{ij} \,$,

kjer je

• $\delta_{ij} \,$ Kroneckerjev delta.

Diagonalne matrike tudi označujemo malo drugače. Zgornjo matriko lahko zapišemo tudi kot:

$D = \mathrm{diag}(d_{11}, d_{22,} \dots, d_{nn}) = \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_{nn} \end{bmatrix}$.

Enotska matrika je simetrična matrika.

Primeri

Primer diagonalne matrike

$D=\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & a_{nn} \end{bmatrix},$

Primeri nekaterih posebnih diagonalnih matrik.

Ničelna matrika

$~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 0 \end{bmatrix},$

ter enotska matrika

$E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix},$

Lastnosti

• Diagonalna matrika je simetrična, ker zanjo velja

$D^{T}=D \,$.

• Rang diagonalne matrike je enak številu neničelnih elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali
• Determinanta diagonalne matrike je enak zmnožku elementov na glavni diagonali.

Skalarna matrika

Diagonalna matrika, ki ima na diagonali vse elemente enake, se imenuje skalarna matrika. Dobimo jo z množenjem skalarja z enotsko matriko. Primer:

$\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}.$.

Inverzna matrika diagonalne

Diagonalna matrika

$\mathrm{diag}(a_1, a_2, ..., a_k)=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & a_k \end{pmatrix}$

ima inverzno obliko

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1/a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1/a_k \end{pmatrix}$.

Pravokotne matrike

Pojem diagonalna matrika lahko (zelo redko) razširimo tudi na pravokotne matrike, ki imajo $m \times n \,$ elementov. Dva primera takšnih matrik

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

in

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & -3& 0 & 0\end{bmatrix}.$.

Zunanje povezave

• Diagonalna matrika na MathWorld (v angleščini)