Unitarna matrika

Unitarna matrika (oznaka $U \,$) je kompleksna matrika za katero velja

$U^{\dagger} U = UU^{\dagger} = I_n\,$

kjer je

• $I_n \,$ enotska matrika reda $n \,$
• $U^{\dagger} \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $U \,$

Matrika $U \,$ je unitarna samo, če ima obratno matriko, ki je enaka konjugirano transponirani $U^{\dagger}\,$

$U^{-1} = U^{\dagger} \,\;$.

Unitarna matrika, ki ima vse elemente realne, se imenuje ortogonalna matrika.

Lastnosti

Unitarne matrike lahko diagonaliziramo.

Množica unitarnih matrik reda $n \,$ sestavlja unitarno grupo (oznaka $U(n) \,$ ). Podgrupa unitarnih matrik z determinanto enako 1, se imenuje specialna unitarna grupa, ki jo označujemo z $SU(n) \,$. Grupi $SU(2) \,$ in $SU(3) \,$ igrata izredno pomembno vlogo v kvantni mehaniki in fiziki osnovnih delcev.

Determinanta unitarne matrike ima vrednost 1

$\begin{align} 1 & = \det(I) = \det(UU^*) = \det(U) \cdot \det(U^*) = \det(U) \cdot \det(\overline{U}^T) \\ & = \det(U) \cdot \det(\overline{U}) = \det(U) \cdot \overline{\det(U)}= |\det(U)|^2. \end{align}$.

Zmnožek dveh unitarnih matrik je unitarna matrika

$\left(UV\right)^{-1}= V^{-1} U^{-1}=\overline{V}^{T}\overline{U}^{T}=\left(\overline{UV}\right)^{ T}.$

Stolpci unitarne matrike $A \,$ tvorijo ortonormirano bazo v unitarnem prostoru. Isto velja tudi za vrstice.

Zunanje povezave

• Unitarna matrika na MathWorld (v angleščini)
• Unitarne matrike (v angleščini)