Unitarna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Unitarna matrika (oznaka  U \,) je kompleksna matrika za katero velja

U^{\dagger} U = UU^{\dagger} = I_n\,

kjer je

Matrika  U \, je unitarna samo, če ima obratno matriko, ki je enaka konjugirano transponirani  U^{\dagger}\,

U^{-1} = U^{\dagger} \,\;.

Unitarna matrika, ki ima vse elemente realne, se imenuje ortogonalna matrika.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Unitarne matrike lahko diagonaliziramo.

Množica unitarnih matrik reda  n \, sestavlja unitarno grupo (oznaka  U(n) \, ). Podgrupa unitarnih matrik z determinanto enako 1, se imenuje specialna unitarna grupa, ki jo označujemo z  SU(n) \,. Grupi  SU(2) \, in  SU(3) \, igrata izredno pomembno vlogo v kvantni mehaniki in fiziki osnovnih delcev.

Determinanta unitarne matrike ima vrednost 1


\begin{align}
1 & = \det(I) = \det(UU^*) = \det(U) \cdot \det(U^*) = \det(U) \cdot \det(\overline{U}^T) \\
  & = \det(U) \cdot \det(\overline{U}) = \det(U) \cdot \overline{\det(U)}= |\det(U)|^2.
\end{align}
.

Zmnožek dveh unitarnih matrik je unitarna matrika

\left(UV\right)^{-1}= V^{-1} U^{-1}=\overline{V}^{T}\overline{U}^{T}=\left(\overline{UV}\right)^{ T}.

Stolpci unitarne matrike  A \, tvorijo ortonormirano bazo v unitarnem prostoru. Isto velja tudi za vrstice.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]