Poševnohermitska matrika

Poševnohermitska matrika (tudi antihermitska) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere konjugirano transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

$A^\dagger = -A \!\, ,$

kjer je:

• $A^\dagger \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A \,$.

To lahko zapišemo tudi kot:

$a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}} \!\, ,$

kjer je:

• $a_{ij} \,$ element iz matrike $A \,$
• zgornja črtica pomeni konjugacijo elementa $a_{ij} \,$

Zgled

$\begin{bmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{bmatrix} \!\, .$

Značilnosti

• lastne vrednosti poševnohermitske matrike so imaginarne
• poševnohermitske matrike so normalne, torej jih lahko diagonaliziramo, njihovi lastni vektorji pa so za različne vrednosti ortogonalni.
• Elementi na glavni diagonali so samo imaginarni (brez realnega dela)
• če sta matriki $A \,$ in $B \,$ poševnohermitski, potem je tudi matrika $aA + bB \,$ poševnohermitska za realna skalarja $a \,$ in $b \,$
• če je matrika $A \,$ poševnohermitska, potem je matrika $iA \,$ hermitska
• če je matrika $A \,$ poševnohermitska, potem je matrika $A^k \,$ hermitska, če je k sodo celo število, in poševno hermitska, če je k liho celo število
• če je $C \,$ poljubna kvadratna matrika, potem jo lahko zapišemo kot vsoto hermitske matrike $A \,$ in poševnohermitske matrike $B \,$ tako, da je $C = A + B \,$ in

da velja

$A = \frac{1}{2}(C + C^\dagger) \,$ in $\quad B = \frac{1}{2}(C - C^\dagger) \,$

• Če je $A \,$ poševnohermitska matrika, potem je $e^A \,$ unitarna matrika.
• prostor poševnohermitskih matrik tvori Liejevo algebro in Liejevo grupo $U(n) \,$

Glej tudi

• hermitska matrika
• seznam vrst matrik