Nesimetrična normalna porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nesimetrična normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev.
oznaka  SN(\xi, \omega, \alpha) \!
tudi  Skew-Normal(\xi, \omega, \alpha) \!
parametri \xi \, parameter lokacije (realno število)
\omega \, parameter merila (pozitivno realno število)
\alpha \, parameter oblike (realno število)
interval x \in (-\infty; +\infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)}  e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)
T(h,a) je Owenova T funkcija
glej tudi definicijo na levi strani
pričakovana vrednost \xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}} kjer je \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}
mediana
modus
varianca \omega^2\left(1 - \frac{2\delta^2}{\pi}\right)
simetrija \frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^3}{  \left(1-2\delta^2/\pi\right)^{3/2}}
sploščenost 2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
2\exp\left(\xi t+\frac{\omega^2t^2}{2}\right)\Phi\left(\omega\delta t\right)
karakteristična funkcija \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))

Nesimetrična normalna porazdelitev (tudi asimetrična normalna porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki posplošuje normalno porazdelitev tako, da je možen koeficient simetrije, ki je različen od nič.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Označimo s \phi(x) \! funkcijo gostote verjetnosti za normalno porazdelitev

\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}

tako, da je zbirna funkcija verjetnosti dana z

\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].\!, potem je funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev s parametrom  \alpha \! enaka
f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,.

Pri tem je

Lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev je

\frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)}  e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je

\xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}

kjer je

  • \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je

\omega^2\left(1 - \frac{2\delta^2}{\pi}\right).

kjer je

  • \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}

kjer je

  • \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}.

Funkcija generiranja momemntov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je enaka

2\exp\left(\xi t+\frac{\omega^2t^2}{2}\right)\Phi\left(\omega\delta t\right)

kjer je

  • \Phi(\omega\delta t) \! zbirna funkcija verjetnosti (glej zgoraj)
  • \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]