Nesimetrična normalna porazdelitev

Nesimetrična normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev.
oznaka	$SN(\xi, \omega, \alpha) \!$ tudi $Skew-Normal(\xi, \omega, \alpha) \!$
parametri	$\xi \,$ parameter lokacije (realno število) $\omega \,$ parameter merila (pozitivno realno število) $\alpha \,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)} e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)$ $T(h,a)$ je Owenova T funkcija glej tudi definicijo na levi strani
pričakovana vrednost	$\xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ kjer je $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}$
mediana
modus
varianca	$\omega^2\left(1 - \frac{2\delta^2}{\pi}\right)$
simetrija	$\frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^3}{ \left(1-2\delta^2/\pi\right)^{3/2}}$
sploščenost	$2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}$
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$2\exp\left(\xi t+\frac{\omega^2t^2}{2}\right)\Phi\left(\omega\delta t\right)$
karakteristična funkcija	$\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))$

Nesimetrična normalna porazdelitev (tudi asimetrična normalna porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki posplošuje normalno porazdelitev tako, da je možen koeficient simetrije, ki je različen od nič.

Definicija

Označimo s $\phi(x) \!$ funkcijo gostote verjetnosti za normalno porazdelitev

$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

tako, da je zbirna funkcija verjetnosti dana z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].\!$, potem je funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev s parametrom $\alpha \!$ enaka

$f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,$.

Pri tem je

• $\operatorname{erf} (\frac{x}{\sqrt{2}}) \!$ Gaussova funkcija napake.

Lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev je

$\frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)} e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)$

kjer je

• $T(h,a) \!$ Owenova T funkcija.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

$\xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

kjer je

• $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}$.

Varianca

Varianca je

$\omega^2\left(1 - \frac{2\delta^2}{\pi}\right)$.

kjer je

• $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}$

kjer je

• $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}$.

Funkcija generiranja momemntov

Funkcija generiranja momentov je enaka

$2\exp\left(\xi t+\frac{\omega^2t^2}{2}\right)\Phi\left(\omega\delta t\right)$

kjer je

• $\Phi(\omega\delta t) \!$ zbirna funkcija verjetnosti (glej zgoraj)
• $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\alpha = 0 \!$ nesimetrije ni več in dobimo običajno normalno porazdelitev.
• Kadar je $\alpha \to \infty\!$ dobimo polnormalno porazdelitev

Zunanje povezave

• Simulacija nesimetrične normalne porazdelitve (v angleščini)
• Opis in lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev