Lagrangeeva funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Lagrangeeva fúnkcija [lagránževa ~] (tudi lagranžijan ali Lagrangiana) je v fiziki funkcija, izbrana tako, da zajame celoten sistem (telo ali sistem teles). Domena Lagrangeeve funkcije je fazni prostor. Sistem se giblje tako, da zavzame Lagrangeeva funkcija ekstremno vrednost. Eulerjeve enačbe odgovarjajočega variacijskega problema so Euler-Lagrangeeve enačbe, diferencialne enačbe drugega reda, ki opisujejo gibanje sistema. V mehaniki za Lagrangeevo funkcijo navadno vzamemo razliko kinetične in potencialne energije sistema. Ta pristop je znan kot Lagrangeeva formulacija gibalnih enačb.

Zgledi iz mehanike[uredi | uredi kodo]

Naj bo v trirazsežnem prostoru definirana Lagrangeeva funkcija:

\frac{1}{2}m \left( \frac{d \vec\mathbf{x}}{dt} \right) ^{2}-U(\vec\mathbf{x}) \!\, .

Ustrezna Euler-Lagrangeeva enačba, ki opisuje gibanje tega sistema, je:

m \frac{d^{2} \vec\mathbf{x}}{dt^{2}}+\nabla V=0 \!\, .

Na osnovi tega rezultata lahko hitro pokažemo, da je Lagrangeev pristop enakovreden Newtonovemu. Če vpeljemo silo \vec\mathbf{F} kot negativni gradient potenciala V, \vec\mathbf{F} = -\nabla V, prepoznamo v Euler-Lagrangeevi enačbi 2. Newtonov zakon:

 m \frac{d^{2} \vec\mathbf{x}}{dt^{2}} = \vec\mathbf{F} \!\, .