Lagrangeeva enakost

Lagrangeeva enákost ali Lagrangeeva identitéta [lagránževa ~] je v algebri enakost:

$\biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2 \biggl(= {1 \over 2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2\biggr) \!\, ,$

ki velja za dve poljubni množici {a₁, a₂, . . ., a_n} in {b₁, b₂, . . ., b_n} realnih ali kompleksnih števil (oziroma splošneje, elementov komutativnega kolobarja). Ta enakost je poseben primer Binet-Cauchyjeve enakosti. Za kompleksna števila jo lahko zapišemo tudi v obliki:

$\biggl( \sum_{k=1}^n |a_k|^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\biggr) - \biggl|\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr|^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |a_i \overline{b}_j - a_j \overline{b}_i|^2 \!\, ,$

kjer uporabimo absolutno vrednost.

Enakost se imenuje po Joseph-Louisu de Lagrangeu.

Ker je desna stran enakosti nenegativna, vsebuje Cauchy-Schwarzevo neenakost v končno razsežnem realnem koordinatnem prostoru $\mathbb{R}^{n}$ in njegovem kompleksnem ustrezniku $\mathbb{C}^n$.

Lagrangeeva enakost in zunanja algebra

Lagrangeevo enakost lahko zapišemo s pomočjo zunanjega produkta:

$(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b) \!\, .$

Nanjo lahko zato gledamo kot na enačbo, ki določa dolžino zunanjega produkta dveh vektorjev, kar je ploščina paralelograma, ki ga oklepata, in z izrazi skalarnega produkta dveh vektorjev:

$\|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2} \!\, .$

Lagrangeeva enakost in vektorski račun

Če sta $\vec\mathbf{a}$ in $\vec\mathbf{b}$ vektorja v $\mathbb{R}^{3}$, lahko Lagrangeevo enakost zapišemo z vektorskim in skalarnim produktom:

$| \vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} |^{2} + (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b})^{2} = | \vec\mathbf{a} |^{2} | \vec\mathbf{b} |^{2} = (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{a})(\vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{b}) \!\, ,$

oziroma:

$\begin{align} (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) \cdot (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) & = (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{a}) (\vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{b}) - (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b})^{2} \\ & = (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{a} - (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{a} ) \cdot \vec\mathbf{b} \\ & = (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{b} - (\vec\mathbf{b} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{a} \\ & = \begin{vmatrix} \vec\mathbf{a} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{a} \vec\mathbf{b} \\ \vec\mathbf{b} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{b} \vec\mathbf{b} \end{vmatrix} . \end{align}$

To je poseben primer multiplikativnosti norme v kvaternionski algebri:

$|vw| = |v| |w| \!\, ,$

oziroma bolj splošno:

$\begin{align} (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{w}) \cdot (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) & = (\vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{a})(\vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{b}) - (\vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{b})(\vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{a}) \\ & = (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{a} - (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{a} ) \cdot \vec\mathbf{b} \\ & = (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{w} - (\vec\mathbf{w} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{v} \\ & = \begin{vmatrix} \vec\mathbf{v} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{v} \vec\mathbf{b} \\ \vec\mathbf{w} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{w} \vec\mathbf{b} \end{vmatrix} . \end{align}$

Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun

V Sturm-Liouvilleovi teoriji lahko Lagrangeevo enakost zapišemo kot:

$\int_0^1(Lu)v-u(Lv)\,dx=-p(u'v-uv')\bigg|_0^1$ 

kjer so $p=P(x)$, $q=Q(x)$, $u=U(x)$ in $v=V(x)$ funkcije $x$. $u$ in $v$ imata zvezni drugi odvod na intervalu $[0,1]$. $L$ je Sturm-Liouvilleov diferencialni operator, določen kot:

$Lu=-(pu')'+qu \!\, .$

Glej tudi

• Brahmaguptova enakost