Lagrangeeva enakost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Lagrangeeva enákost ali Lagrangeeva identitéta [lagránževa ~] je v algebri enakost:

\biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2 \biggl(= {1 \over 2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2\biggr) \!\, ,

ki velja za dve poljubni množici {a1, a2, . . ., an} in {b1, b2, . . ., bn} realnih ali kompleksnih števil (oziroma splošneje, elementov komutativnega kolobarja). Ta enakost je poseben primer Binet-Cauchyjeve enakosti. Za kompleksna števila jo lahko zapišemo tudi v obliki:

 \biggl( \sum_{k=1}^n |a_k|^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\biggr) - \biggl|\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr|^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |a_i \overline{b}_j - a_j \overline{b}_i|^2 \!\, ,

kjer uporabimo absolutno vrednost.[1][2]

Enakost se imenuje po Joseph-Louisu de Lagrangeu.

Ker je desna stran enakosti nenegativna, vsebuje Cauchy-Schwarzevo neenakost v končno razsežnem realnem koordinatnem prostoru \mathbb{R}^{n} in njegovem kompleksnem ustrezniku \mathbb{C}^n.

Lagrangeeva enakost in zunanja algebra[uredi | uredi kodo]

Lagrangeevo enakost lahko zapišemo s pomočjo zunanjega produkta:

 (a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b) \!\, .

Nanjo lahko zato gledamo kot na enačbo, ki določa dolžino zunanjega produkta dveh vektorjev, kar je ploščina paralelograma, ki ga oklepata, in z izrazi skalarnega produkta dveh vektorjev:

 \|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2} \!\, .

Lagrangeeva enakost in vektorski račun[uredi | uredi kodo]

Če sta \vec\mathbf{a} in \vec\mathbf{b} vektorja v \mathbb{R}^{3}, lahko Lagrangeevo enakost zapišemo z vektorskim in skalarnim produktom:

 | \vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} |^{2} + (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b})^{2} = | \vec\mathbf{a} |^{2} | \vec\mathbf{b} |^{2} = (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{a})(\vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{b}) \!\, ,

oziroma:

 \begin{align}
(\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) \cdot (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) & = 
(\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{a}) (\vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{b}) - (\vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b})^{2} \\
& = (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{a} -
    (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} \cdot \vec\mathbf{a} ) \cdot \vec\mathbf{b} \\
& = (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{b} -
    (\vec\mathbf{b} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{a} \\
& = \begin{vmatrix} \vec\mathbf{a} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{a} \vec\mathbf{b} \\
                    \vec\mathbf{b} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{b} \vec\mathbf{b}
    \end{vmatrix} . \end{align}

To je poseben primer multiplikativnosti norme v kvaternionski algebri:

 |vw| = |v| |w| \!\, ,

oziroma bolj splošno:

 \begin{align}
(\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{w}) \cdot (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) & = (\vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{a})(\vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{b}) - (\vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{b})(\vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{a}) \\ 
& = (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{a} -
    (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{w} \cdot \vec\mathbf{a} ) \cdot \vec\mathbf{b} \\
& = (\vec\mathbf{v} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{w} -
    (\vec\mathbf{w} \times \vec\mathbf{a} \cdot \vec\mathbf{b} ) \cdot \vec\mathbf{v} \\
& = \begin{vmatrix} \vec\mathbf{v} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{v} \vec\mathbf{b} \\
                    \vec\mathbf{w} \vec\mathbf{a} & \vec\mathbf{w} \vec\mathbf{b}
    \end{vmatrix} . \end{align}

Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun[uredi | uredi kodo]

V Sturm-Liouvilleovi teoriji lahko Lagrangeevo enakost zapišemo kot:

\int_0^1(Lu)v-u(Lv)\,dx=-p(u'v-uv')\bigg|_0^1 [3]

kjer so p=P(x), q=Q(x), u=U(x) in v=V(x) funkcije x. u in v imata zvezni drugi odvod na intervalu [0,1]. L je Sturm-Liouvilleov diferencialni operator, določen kot:

Lu=-(pu')'+qu \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: Ameriško matematično društvo. str. 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9. ;
  2. ^ Palka, Bruce P. (1991). An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. str. 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9. .
  3. ^ Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2001). "Boundary Value Problems and Sturm–Liouville Theory". Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (PDF) (v angleščini) (7th ed. izd.). New York: John Wiley & Sons. str. 630. ISBN 9780471319993. OCLC 64431691.  (za dve poglavji Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun in Oblika v infinitezimalnem računu tega članka)