Gaussov problem o krogu

Gaussov problem o krogu v je v matematiki nerešeni problem določitve števila mrežnih točk znotraj kroga s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r. Prvi korak pri rešitvi je naredil Carl Friedrich Gauss in po njem se problem tudi imenuje.

Opredelitev problema

Naj je krog v ravnini (R²) s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r ≥ 0. Gaussov problem o krogu sprašuje koliko točk oblike (m,n) leži znotraj tega kroga, kjer sta m in n celi števili. Ker je enačba kroga dana v kartezičnih koordinatah z x² + y² = r², je vprašanje enakovredno vprašanju koliko takšnih parov celih števil m in n obstaja, da velja:

$m^{2}+n^{2} \leq r^{2} \!\, .$

Če za dani r označimo rešitev z N(r), je prvih deset vrednosti za N(r) za celi r med 0 in 10 (OEIS A000328):

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317.

Meje rešitve in domneva

Ploščina kroga s polmerom r je dana s πr². Ker kvadrat s ploščino 1 v R² vsebuje eno celo točko, bo pričakovana rešitev približno πr². Dejansko bo malo višja, ker krogi bolj učinkovito zapolnjujejo prostor kot kvadrati. Lahko pričakujemo vrednost:

$N(r)=\pi r^{2} + E(r) \!\, ,$

kjer E(r) določa napako. Iskanje pravilne zgornje meje za E(r) je tako vsebina problema.

Gauss je dokazal, da velja:

$\frac{| E(r) |}{r} \leq 2\sqrt{2}\pi = 8,885765\ldots \!\, .$

Hardy in neodvisno od njega Landau sta našla spodnjo mejo in pokazala, da velja:

$E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right) \!\, ,$

kjer je o-zapis Landauov simbol. Domnevajo, da je pravilna spodnja meja enaka:

$E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right) \!\,$

za vsak $\varepsilon > 0$.

Če pišemo:

$\frac{| E(r)|}{r^{t}} \le C \!\, ,$

sta trenutni meji za t:

$\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0,629807\ldots \!\, ,$

kjer je spodnja meja Hardyjeva in Landauova iz leta 1915; zgornjo mejo pa je dokazal Huxley leta 2000.

Sylvain Cappell in Julius Shaneson sta leta 2007 v arXiv oddala članek, v katerem sta trdila, da sta dokazala mejo za O(r^1/2+ε).

Točni izrazi

Vrednost N(r) lahko podamo z več vrstami. S členi vsote funkcije celi del jo lahko zapišemo kot:

$N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right) \!\, .$

Preprostejšo vsoto dobimo, če definiramo aritmetično funkcijo vsoto kvadratov r₂(n), kot število načinov zapisa števila n z vsotama dveh kvadratov vključno z ničlami. Tako je:

$N(r)=\sum_{n=0}^{r^{2}} r_{2}(n) \!\, .$

Prve vrednosti za r, za katere je $N(r)/r^{2} > \pi$, so (OEIS A093832):

1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 35, 51, 52, 85, 100, 230, ...

Posplošitve

Problem so posplošili tudi na stožnice, elipsoide in več razsežnosti. Dirichletov problem deliteljev je enakovredni problem za pravokotno hiperbolo.

Primitivni problem o krogu

Druga posplošitev je določitev števila tujih celoštevilskih rešitev m, n enačbe:

$m^{2}+n^{2} \leq r^{2} \!\, .$

Ta problem je znan kot primitivni problem o krogu, saj vsebuje iskanje primitivnih rešitev izvirnega problema o krogu. Če označimo število takšnih rešitev z V(r), so njihove vrednosti za celoštevilski r od 0 do 6:

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72.

S pomočjo idej običajnega Gaussovega problema o krogu in dejstva, da je verjetnost, da sta dve celi števili tuji, enaka 6/π², se lahko pokaže, da velja:

$V(r)=\frac{6}{\pi}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon}) \!\, .$

Kot pri običajnem problemu o krogu je problematičen del primitivnega problema o krogu zmanjšanje eksponenta za člen napake. Trenutno je najboljši znani eksponent enak 221/304 + ε, s privzetkom, da Riemannova domneva velja. Na drugi strani niso dokazali nobenega drugega eksponenta manj od 1 brez omejitev.

Viri

• Cappell, Sylvain E.; Shaneson, Julius L.. Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem. arXiv:math/0702613v3. http://arxiv.org/abs/math/0702613. 
• Guy, Richard Kenneth (2004). Unsolved problems in number theory (3. izd.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. 
• Hardy, Godfrey Harold (1915). "On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares". Quart. J. Math. 46: 263-283. 
• Hardy, Godfrey Harold (1999). Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work (3. izd.). New York: Chelsea. 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, S. (1999). Geometry and the Imagination. New York: Chelsea. 
• Huxley, Martin Neil. "Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function". Number theory for the millenium, II. (Urbana, IL, 2000). Str. 275-290. A K Peters, Natick, MA, 2002, MR 1956254. 
• Wu, J. (2002). "On the primitive circle problem". Monatsh. Math. 135: 69-81. 
• Zhai, W. G.; Cao, X. D. (1999). "On the number of coprime integer pairs within a circle". Acta Arith. 90: 1-16. 

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang, Gaussov problem o krogu na MathWorld (v angleščini)