Cantorjeva množica

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cantorjeva množica je v matematiki fraktal, v katerem se pojavljajo le realna števila med 0 in 1. Množico je uvedel nemški matematik Georg Ferdinand Cantor.

Cantorjeva množica je določena z neprestanim odstranjevanjem srednje tretjine daljice. Začnemo z enotskim intervalom [0, 1] in odstranimo njegovo srednjo tretjino. Ostane [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. V neskončnem koraku odstranimo vse »srednje tretjine« preostalih odsekov. Cantorjeva množica vsebuje vse točke v intervalu [0, 1], ki jih nismo odstranili v tem neskončnem procesu.

Cantorjeva množica v sedmih iteracijah
Trorazsežna Cantorjeva množica.

Velikost Cantorjeve množice[uredi | uredi kodo]

Vprašanje je, kaj ostane, ko je proces končan? Če seštejemo vse dolžine odstranjenih odsekov, dobimo:

\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1

(Za podrobnosti glej geometrična vrsta).

Na podlagi računa smo lahko presenečeni, če na koncu še kaj ostane. Navsezadnje je vsota dolžin odstranjenih odsekov enaka dolžini izvirnega intervala. Če pogledamo podrobneje, vidimo, da nekaj ostane, ker z odstranjevanjem »srednjih tretjin« intervala odstranjujemo odprte množice (množice, ki ne vsebujejo krajnih točk). Pri odstranitvi odseka (1/3, 2/3) iz izvornega intervala [0, 1] ostaneta točki 1/3 in 2/3. Točki bosta vedno v množici, in še naprej bodo v njej tudi vse takšne točke. Z zagotovostjo vemo, da Cantorjeva množica ni prazna.

Nekrajne točke v Cantorjevi množici[uredi | uredi kodo]

Zdi se, da bodo v množici ostale le krajne točke, vendar je to napačno. Število 1/4 je na primer v spodnji tretjini in zato v prvem koraku ne pade iz množice. Ker ni nikoli v eni od sredinskih tretjin, ostane v množici, in tudi ni ena od krajnih točk katerekoli srednje tretjine.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Cantorjeva množica je neštevna[uredi | uredi kodo]

Lahko se pokaže, da v množici ostane enako število točk kot število odstranjenih točk. Pri tem naj si točke v intervalu [0, 1] mislimo zapisane v trojiškem sistemu z osnovo 3. Na ta način lahko 1/3 zapišemo kot 0,1 in 2/3 kot 0,2. Če odstranimo vse med 1/3 in 2/3, je to isto kot če bi v trojiškem sistemu odstranili vse med 0,1 in 0,2. To pomeni, da vsako trojiška decimalko, oblike 0,1xxxxxx, odstranimo iz množice, razen tiste, kjer je vsak x enak 0 ali vsak x 2 - to sta krajni točki.

Ker je trojiško 0,1 = 0,02222222..., lahko število predstavimo brez števila 1 na kateremkoli mestu. Glej Cantorjev diagonalni dokaz.

V naslednjem koraku v intervalih [0, 0,1] in [0,2, 1] odstranimo njuni srednji tretjini. V tem primeru odstranimo vse med 0,01 in 0,02 v prvem, in vse med 0,21 in 0,22 v drugem. Ali z drugimi besedami, vse z 1 na drugem mestu takoj za točko. Ko končamo, so števila, ki preostanejo tista, ki jih trojiško lahko zapišemo brez '1' na poljubnem mestu.

Če povemo še drugače, Cantorjeva množica vsebuje vsa števila med 0 in 1, ki jih trojiško lahko zapišemo s številkami 0 in 2. Zato lahko števila v Cantorjevi množici preslikamo v števila v [0, 1], kjer v trojiškem zapisu zamenjamo vsako 2 z 1, in rezultat obravnavamo dvojiško. Zato je v Cantorjevi množici toliko točk, kolikor jih je v [0, 1] in Cantorjeva množica je neštevna. Ker je množica krajnih točk odstranjenih odsekov števna, mora v Cantorjevi množici obstajati števno mnogo števil, ki niso krajne točke odsekov. Kakor je zapisano zgoraj, je en primer število 1/4, ki ga lahko trojiško zapišemo kot 0,02020202020...

Cantorjeva množica je fraktal[uredi | uredi kodo]

Cantorjeva množica je prototip fraktala. Množica je samopodobna, ker je enaka dvema kopijama same sebe, če vsako kopijo skrčimo za faktor 1/3 in prestavimo. Njena Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost je enaka ln(2)/ln(3). Cantorjevo množico lahko tvorimo s presekom preproge Sierpińskega z eno od njenih poljubnih telesnih simetral.

Topološke in analitične značilnosti[uredi | uredi kodo]

Kakor kaže zgornja vsota je Cantorjeva množica neštevna, njena Lebesguova mera pa je enaka 0. Ker je Cantorjeva množica komplement unije odprtih množic, je sama zaprta podmnožica množice realnih števil in je zato cel metrični prostor. Ker je tudi omejena, Heine-Borelov izrek zagotavlja, da mora biti kompaktna.

Izberimo poljubno točko v Cantorjevi množici. V njeni poljubno majhni okolici, obstaja drugo število, ki ga lahko trojiško zapišemo samo s številkami 0 in 2. Zaradi tega je vsaka točka v Cantorjevi množici zbirna točka. V topologiji se zaprte množice, kjer je vsaka točka zbirna imenujejo tudi popolne množice.

Spet izberimo poljubno točko iz Cantorjeve množice, ki je sama podmnožica enotskega intervala. Vsaka poljubno majhna okolica te točke vsebuje odprto množico v enotskem intervalu, ki ni povezana s Cantorjevo množico. Tako je Cantorjeva množica nikjer gosta v enotskem intervalu in popolnoma nepovezana.

Kot kompakten popolnoma nepovezan Hausdorffov prostor je Cantorjeva množica zgled Stoneovega prostora.

Vredno je omeniti, da je kot topološki prostor Cantorjeva množica homeomorfna produktu števno mnogo kopij prostora {0, 1}, kjer vsaka kopija nosi diskretno topologijo. S tem se lahko pokaže, da je Cantorjeva množica homogena v smislu, da za dve poljubni točki x in y v Cantorjevi množici C obstaja homeomorfizem f : CC z f(x) = y.

Cantorjeva množica je tudi homeomorfna p-adičnim celim številom. Če odstranimo iz nje eno točko, je homeomorfna p-adičnim številom.

Za Cantorjevo množico velja: vsak neprazen popolnoma nepovezan popoln kompakten metrični prostor je homeomorfen Cantorjevi množici. Glej Cantorjev prostor za podrobnosti o prostorih, ki so homeomorfna Cantorjevi množici.

Cantorjeva množica je »univerzalna v kategoriji kompaktnih metričnih prostorih«. To pomeni, da je je vsak metrični prostor zvezna slika Cantorjeve množice. To spoznanje ima pomembno vlogo v funkcionalni analizi.

Različice Cantorjeve množice[uredi | uredi kodo]

Namesto odstranjevanja srednje tretjine v vsakem intervalu Cantorjeve množice, lahko odstranjujemo tudi odseke v poljubnem stalnem razmerju. Vse takšne množice so homeomorfne Cantorjevi množici in njihova Lebesguova mere je enaka 0.

Z odstranjevanjem vedno manjših odsekov lahko tvorimo množice, ki so homeomorfne Cantorjevi množici in imajo pozitivno Lebesguovo mero, ter so še vedno nikjer goste.

Iz zgodovine[uredi | uredi kodo]

V Cantorjevem času je bila ta množica abstrakten pojem. Cantor je prišel do nje zaradi praktičnih razlogov v raziskovanju množice točk, kjer trigonometrične vrste ne bi konvergirale. Njeno odkritje ga je navedlo na razvoj abstraktne, splošne teorije neskončnih množic.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]