Gaussova konstanta

Gaussova konstanta (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena od 2:

$G={\frac {1}{\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\ldots \!\,.$ (OEIS A014549)

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\!\,,$

tako, da je

$G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})\!\,,$

kjer je B funkcija beta.

Gaussove konstante ne smemo zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Povezava z drugimi konstantami

Z Gaussovo konstanto lahko izrazimo funkcijo Γ za argument 1/4:

$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\!\,.$

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.

Lemniskatini konstanti

S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:

$L_{1}=\pi G\!\,,$

$L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}\!\,,$

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto $L_{1}\,$ in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

$\varpi \equiv L_{1}=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}=2,62205755429211981046\ldots \!\,$ (OEIS A062539)

$\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\!\,.$

Algebrsko neodvisnost $\Gamma (1/4)\,$ in $G\,$ od $\pi \,$ je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.

Druge formule

Formula za G z Jacobijevo funkcijo θ je:

$G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })\!\,,$

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

$G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}\!\,.$

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)\!\,.$

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

${\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos x}}\,\mathrm {d} x\!\,,$

$G=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh \pi x}}}\!\,.$

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je:

$G=[0;1,5,21,3,4,14,\cdots ]\!\,.$

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Glej tudi

• lemniskatna eliptična funkcija
• lemniskatni sinus

Viri

• Chudnovsky, Gregory (1975). »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«. Notices of the AMS. Zv. 22. str. A-486.
• Chudnovsky, Gregory (1984). Contributions to the theory of transcendental numbers. Ameriško matematično društvo. ISBN 0-8218-1500-8.
• Schneider, Theodor (1937). »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«. Mathematische Annalen. Zv. 113. str. 1–13. ]

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang, Gaussova konstanta na MathWorld (angleško)