Poševnosimetrična matrika: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 12:35, 17. julij 2012

Poševnosimetrična matrika (tudi antisimetrična matrika) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

Napaka pri razčlembi (neznana funkcija '\m'): {\displaystyle A^T=-A \!\m , }

kjer je:

$A^{T}\,$ transponirana matrika matrike $A\,$ .

To lahko zapišemo tudi kot:

a_{ij}=-a_{ji}\qquad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}\!\,,

kjer je:

$a_{ij}\,$ element matrike $A\,$

Zgledi

{\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad {\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{pmatrix}}\!\,.

Značilnosti

rang poševnosimetrične matrike je vedno sodo število.

Determinanta poševnosimetrične matrike

Če ima matrika $A\,$ razsežnost $n\times n\,$ sta pri izračunu determinante dve možnosti:

$n\,$ je neparno število

det(A)=det(A^{T})=det(-A)=(-1)^{n}det(A)\,

kar pomeni, da je $det(A)=0\,$ . Ta rezultat se imenuje Jakobijevo pravilo (po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju (1804 – 1851)).

$n\,$ je sodo število. V tem primeru lahko determinanto matrike $A\,$ pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike $A\,$

to je

det(A)={Pf(A)}^{2}\,

kjer je

$Pf(A)\,$ Pfaffova determinanta (pfafian) (ime ima po nemškem matematiku Johanu Friedrichu Pfaffu (1765 – 1825)) matrike $A\,$ , ki se izračuna kot ${\mbox{Pf(A)}}=\pm {\sqrt {\mbox{det(A)}}}$ . Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.

Glej tudi

@@ Vrstica 1: / Vrstica 1: @@
-'''Poševna simetrična matrika''' (tudi '''antisimetrična matrika''') je [[kvadratna matrika]] s [[kompleksno število|kompleksnimi]] elementi, katere [[transponirana matrika|transponirana]] matrika je enaka njeni negativni vrednosti
+'''Poševnosimetrična matrika''' (tudi '''antisimetrična matrika''') je [[kvadratna matrika]] s [[kompleksno število|kompleksnimi]] elementi, katere [[transponirana matrika|transponirana]] matrika je enaka njeni negativni vrednosti:
-:<math>A^T=-A</math>
+: <math>A^T=-A \!\m , </math>
-kjer je
+kjer je:
 * <math> A^ T \,</math> transponirana matrika matrike <math> A \,</math>.
-To lahko zapišemo tudi kot
+To lahko zapišemo tudi kot:
-:<math>a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}</math>
+: <math> a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\} \!\, , </math>
-kjer je
+kjer je:
 * <math> a_{ij} \,</math> element matrike <math> A \,</math>
-== Primeri ==
+== Zgledi ==
-:<math>\begin{pmatrix}
+: <math> \begin{pmatrix}
 & 2 \\
 -2 & 0 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad\begin{pmatrix}
 &1& -2 \\
 -1 & 0 &3 \\
-&-3&0\end{pmatrix}</math>
+&-3&0\end{pmatrix} \!\, . </math>
+== Značilnosti ==
+* [[rang (linearna algebra)|rang]] poševnosimetrične matrike je vedno [[soda in liha števila|sodo število]].
+== Determinanta poševnosimetrične matrike ==
-== Lastnosti ==
-* [[rang (linearna algebra)|rang]] poševne simetrične matrike je vedno [[soda in liha števila|parno število]].
+Če ima matrika <math> A \,</math> razsežnost <math> n \times n \,</math> sta pri izračunu [[determinanta|determinante]] dve možnosti:
-== Determinanta poševno simetrične matrike ==
-Če ima matrika <math> A \,</math> razsežnost <math> n \times n \,</math>
-sta pri izračunu [[determinanta|determinante]] dve možnosti:
 * <math> n \,</math> je neparno število
 : <math> det (A)  = det (A^T) = det (-A) = (-1) ^n det (A)\,</math>
-kar pomeni, da je <math> det(A) = 0 \,</math>. Ta rezultat se imenuje [[Jakobijevo pravilo]] (po [[Nemci|nemškem]] [[matematik]]u [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju]] (1804 – 1851)).
+kar pomeni, da je <math> det(A) = 0 \,</math>. Ta rezultat se imenuje [[Jakobijevo pravilo]] (po nemškem matematiku [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju]] (1804 – 1851)).
-* <math> n \,</math> je parno število. V tem primeru lahko determinanto matrike <math> A \,</math> pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike <math> A \,</math>
+* <math> n \,</math> je sodo število. V tem primeru lahko determinanto matrike <math> A \,</math> pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike <math> A \,</math>
 to je
 : <math> det (A) = {Pf(A)} ^ 2 \,</math>
 kjer je
-* <math> Pf(A) \,</math> [[Pfaffova determinanta]] ([[pfafian]]) (ime ima po nemškem matematiku [[Johann Friedrich Pfaff|Johanu Friedrichu Pfaffu]] (1765 – 1825)) matrike <math> A \,</math>, ki se izračuna kot <math> \mbox{Pf(A)}=\pm\sqrt{\mbox{det(A)}}</math>.
+* <math> Pf(A) \,</math> [[Pfaffova determinanta]] ([[pfafian]]) (ime ima po nemškem matematiku [[Johann Friedrich Pfaff|Johanu Friedrichu Pfaffu]] (1765 – 1825)) matrike <math> A \,</math>, ki se izračuna kot <math> \mbox{Pf(A)}=\pm\sqrt{\mbox{det(A)}}</math>. Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.
-Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.
 == Glej tudi ==