Sploščenost: Razlika med redakcijama
m popravek |
Nov prispevek |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Sploščenost''' (tudi koeficient ekscesa ali koeficient sploščenosti) je v [[verjetnostni račun|teoriji verjetnosti]] in [[statistika|statistiki]] vrednost, ki meri ''koničastost '' (ostrost vrha) [[verjetnostna porazdelitev|verjetnostne porazdelitve]] [[realna števila|realne]] [[slučajna spremenljivka|slučajne spremenljivke]]. Označimo jo z <math>\mathbf{\gamma_2}</math>. Na splošno pomeni večja sploščenost tudi, da je večji del [[varianca|variance]] posledica izjemnih vrednosti. |
|||
== Definicija == |
|||
Sploščenost je definirana kot razmerje med četrto kumulanto in kvadratom variance |
|||
:<math>\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3, \!</math> |
|||
kjer je |
|||
* κ<sub>4</sub> četrta [[kumulanta]] |
|||
* κ<sub>2</sub> druga [[kumulanta]] |
|||
* µ<sub>4</sub> četrti [[centalni moment]] |
|||
* σ standadni odklon (varianca je kvadrat standardnega odklona) |
|||
Na koncu je odšteta vrednost 3. To je zaradi tega, da je sploščenost normalne porazdelitve enaka 0. Takšno vrednost včasih imenujemo tudi ''ekscesna sploščenost''. |
|||
Četrti [[centralni moment]] je določen z |
|||
:<math>\frac{\mu_4}{\sigma^4},\! </math> |
|||
kjer je |
|||
* µ<sub>4</sub> četrti [[centralni moment]] |
|||
* σ je [[standadni odklon]] |
|||
Za [[vzorec (statistika)|vzorec]] n vrednosti izračunamo sploščenost vzorca na naslednji način: |
|||
:<math>\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} -3 = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\right)^2} - 3 </math> |
|||
kjer je |
|||
* <math>\mathbf{\overline {x}}</math> srednja vrednost vzorca |
|||
* x<sub>i</sub> pa so posamezne vrednosti iz vzorca |
|||
== Lastnosti == |
|||
*Sploščenost lahko zavzame samo naslednje vrednosti |
|||
:<math>\gamma_2 \in [-2,\infty)</math>. |
|||
* Naj bodo <math>X_1,\ldots,X_n</math> neodvisne [[slučajna spremenljivka|slučajne spremenljivke]], ki imajo enake standardne odklone. Če velja <math>Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i</math>, potem velja tudi |
|||
: <math>\gamma_{2,Y} = \frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n \gamma_{2,X_i}</math>, |
|||
kjer so |
|||
* <math>\gamma_{2,Y},\gamma_{2,X_i},\; i=1,\ldots,n</math> koeficienti sploščenosti pripadajočih vrednosti. |
|||
Sploščenost vedno primerjamo s sploščenostjo [[normalna porazdelitev|normalne porazdelitve]], ki ima vrednost 0. Če je sploščenost večja od nič, potem se porazdelitev bistveno razlikuje od normalne porazdelitve. Kadar je pozitivna, je porazdelitev bolj ostra, kadar pa je negativna pa je manj ostra. |
|||
Visoka vrednost sploščenosti pomeni, da ima porazdelitev ostrejši vrh in daljši rep. |
|||
Porazdelitve z ničelno ekscesno sploščenostjo, imenujemo tudi mezokurtična (mezokurtotična) porazdelitev (primer [[binomska porazdelitev]]). |
|||
Kadar ima porazdelitev pozitivno ekscesno sploščenost, pravimo, da je porazdelitev leptokurtična (leptokurtotična) (tudi nad Gaussova – super Gaussova) (primer [[Laplaceova porazdelitev]]). |
|||
Porazdelitve z negativno ekscesno sploščenostjo pa imenujemo platikurtične (platikurtotična) (tudi pod Gaussove – sub Gaussova) (primer [[enakomerna porazdelitev]] in [[Bernoullijeva porazdelitev]], ki ima p=1/2) |
|||
[[Kategorija:Statistika]] |
|||
[[Kategorija:Verjetnostne porazdelitve]] |
|||
[[cs:Koeficient špičatosti]] |
|||
[[de:Wölbung (Statistik)]] |
|||
[[en:Kurtosis]] |
|||
[[es:Curtosis]] |
|||
[[eu:Kurtosi neurri]] |
|||
[[fa:کشیدگی]] |
|||
[[fr:Kurtosis]] |
|||
[[it:Curtosi]] |
|||
[[he:גבנוניות (סטטיסטיקה)]] |
|||
[[lv:Ekscesa koeficients]] |
|||
[[lt:Ekscesas]] |
|||
[[hu:Lapultság]] |
|||
[[nl:Kurtosis]] |
|||
[[ja:尖度]] |
|||
[[pl:Kurtoza]] |
|||
[[pt:Curtose]] |
|||
[[ru:Коэффициент эксцесса]] |
|||
[[su:Kurtosis]] |
|||
[[fi:Huipukkuus]] |
|||
[[sv:Kurtosis]] |
|||
[[vi:Độ nhọn (thống kê)]] |
|||
[[tr:Basıklık]] |
|||
[[uk:Коефіцієнт ексцесу]] |
Redakcija: 14:07, 15. december 2009
Sploščenost (tudi koeficient ekscesa ali koeficient sploščenosti) je v teoriji verjetnosti in statistiki vrednost, ki meri koničastost (ostrost vrha) verjetnostne porazdelitve realne slučajne spremenljivke. Označimo jo z . Na splošno pomeni večja sploščenost tudi, da je večji del variance posledica izjemnih vrednosti.
Definicija
Sploščenost je definirana kot razmerje med četrto kumulanto in kvadratom variance
kjer je
- κ4 četrta kumulanta
- κ2 druga kumulanta
- µ4 četrti centalni moment
- σ standadni odklon (varianca je kvadrat standardnega odklona)
Na koncu je odšteta vrednost 3. To je zaradi tega, da je sploščenost normalne porazdelitve enaka 0. Takšno vrednost včasih imenujemo tudi ekscesna sploščenost.
Četrti centralni moment je določen z
kjer je
- µ4 četrti centralni moment
- σ je standadni odklon
Za vzorec n vrednosti izračunamo sploščenost vzorca na naslednji način:
kjer je
- srednja vrednost vzorca
- xi pa so posamezne vrednosti iz vzorca
Lastnosti
- Sploščenost lahko zavzame samo naslednje vrednosti
- .
- Naj bodo neodvisne slučajne spremenljivke, ki imajo enake standardne odklone. Če velja , potem velja tudi
- ,
kjer so
- koeficienti sploščenosti pripadajočih vrednosti.
Sploščenost vedno primerjamo s sploščenostjo normalne porazdelitve, ki ima vrednost 0. Če je sploščenost večja od nič, potem se porazdelitev bistveno razlikuje od normalne porazdelitve. Kadar je pozitivna, je porazdelitev bolj ostra, kadar pa je negativna pa je manj ostra.
Visoka vrednost sploščenosti pomeni, da ima porazdelitev ostrejši vrh in daljši rep.
Porazdelitve z ničelno ekscesno sploščenostjo, imenujemo tudi mezokurtična (mezokurtotična) porazdelitev (primer binomska porazdelitev). Kadar ima porazdelitev pozitivno ekscesno sploščenost, pravimo, da je porazdelitev leptokurtična (leptokurtotična) (tudi nad Gaussova – super Gaussova) (primer Laplaceova porazdelitev). Porazdelitve z negativno ekscesno sploščenostjo pa imenujemo platikurtične (platikurtotična) (tudi pod Gaussove – sub Gaussova) (primer enakomerna porazdelitev in Bernoullijeva porazdelitev, ki ima p=1/2)