Poissonova enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Poissonova enáčba [poasónova ~] (imenovana tudi enačba teorije potenciala) je v matematiki parcialna diferencialna enačba 2. reda

 \nabla^{2} \phi (\vec\mathbf{r}) \equiv \nabla \cdot ( \nabla \phi (\vec\mathbf{r}) ) = \rho (\vec\mathbf{r}) \!\, ,

kjer je \nabla^{2} Laplaceov operator, φ skalarno polje in ρ, velikokrat imenovana izvorna funkcija, poljubna dana funkcija kraja v podmnožici D množice \mathbb{R}^{n} (mnogoterosti).

Če je funkcija točke ρ = 0, dobimo Laplaceovo enačbo:

\nabla^{2} \phi = 0 \!\, .

Poissonova enačba se zapisuje tudi v obliki:

 \Delta \phi (\vec\mathbf{r}) = \rho (\vec\mathbf{r}) \!\, ,

običajno kadar mnogoterost ni evklidski prostor.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Poissonova enačba je linearna in zanjo velja načelo superpozicije: za \nabla^2\phi_1=\rho_1 in \nabla^2\phi_2=\rho_2 sledi \nabla^2(\phi_1+\phi_2)=\rho_1+\rho_2. To dejstvo pomaga pri konstrukciji rešitev Poissonove enačbe iz osnovnih rešitev ali Greenovih funkcij, kjer je izvorna porazdelitev Diracova porazdelitvena funkcija.

V trirazsežnih kartezičnih koordinatah ima obliko:

 \left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \right)\phi (x,y,z) = \rho(x,y,z) \!\, .

Leta 1812 je Siméon-Denis Poisson odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj telesa. Strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto pa je podal šele Carl Friedrich Gauss leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v vektorski algebri.

Enačba se veliko uporablja v elektrostatiki, strojništvu ali v teoretični fiziki.

Rešitev φ za dano funkcijo f je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno dobimo električni potencial Ψ za dano porazdelitev električnega naboja ρe:

\nabla^{2} \Psi = { \rho_{e}\over \varepsilon\varepsilon_{0} } \!\, .

Za numerične rešitve enačbe obstaja več metod. Ena od njih, s pomočjo iteracijskega algoritma je relaksacijska metoda.

Raziskovanje skalarnega polja φ iz dane divergence ρ(x, y, z) njegovega gradienta vede na Poissonovo enačbo v 3-razsežnem prostoru:

\nabla^{2} \phi = \rho (x,y,z) \!\, .

To je pomemben primer za n = 3. Tu je D cela v \vec\mathbb{R}^{3}. Ko se točka oddalji v neskončnost (\vert \vec\mathbf r\vert\to\infty) je \phi(\vec\mathbf r)\to 0. Splošna rešitev je Newtonov potencial:

 \phi(\vec\mathbf r) = - \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\rho(\vec\mathbf{r'})}{\vert \vec\mathbf{r}- \vec\mathbf{r'}\vert}\mathrm{d}^3 \vec\mathbf{r'} \!\,

Zgledi[uredi | uredi kodo]

V tekočini porazdelitev naboja ni znana in je potrebno uporabiti Poisson-Boltzmannovo enačbo, ki pa se v večini primerov ne da rešiti analitično, ampak samo za določene primere.

Laplaceova in Poissonova enačba sta najpreprostejša primera eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb.

Newtonska gravitacija[uredi | uredi kodo]

V primeru gravitacijskega polja g zaradi privlačne sile masivnega telesa z gostoto ρ lahko za ustrezno Poissonovo enačbo za gravitacijo uporabimo Gaussov gravitacijski zakon v diferencialni obliki:

 \nabla\cdot\vec\mathbf{g} = -4\pi \kappa\rho \!\, .

Ker je gravitacijsko polje konservativno, ga lahko izrazimo s skalarnim potencialom Φ (gradient skalarnega potenciala - gravitacijski potencial):

 \vec\mathbf{g} = -\nabla\Phi \!\, .

Če vstavimo v Gaussov gravitacijski zakon:

 \nabla\cdot(-\nabla \Phi) = - 4\pi \kappa \rho \!\, ,

dobimo Poissonovo enačbo za gravitacijo:

 {\nabla}^{2} \Phi  =  4\pi \kappa \rho \!\, .

Če polje φ ni skalarno, velja Poissonova enačba, kot je to lahko v 4-razsežnem prostoru Minkowskega:

\square^{2} \phi_{\mu\nu} = \rho (ct,x,y,z) \!\, .

Takšne probleme rešuje splošna teorija relativnosti, ki gravitacijsko polje obravnava z značilnostmi prostor-časa.

Elektrostatika[uredi | uredi kodo]

Eden od temeljev elektrostatike so problemi in njihove rešitve, ki jih opisuje Poissonova enačba. Iskanje φ za dano ρ je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno poiščemo električni potencial za dano porazdelitev naboja.

Po Gaussovem zakonu o električnem pretoku imamo:

 \nabla \cdot \vec\mathbf{D} = \rho_{e} \!\, ,

kjer je:

 \mathbf{\nabla} \cdot \, operator divergence nabla,
 \vec\mathbf{D} \, gostota električnega polja,
 \rho_{e} \, gostota prostega naboja, (ki opisuje delež naboja od zunaj).

Če privzamemmo da je snov linearna, izotropna in homogena, velja:

 \vec\mathbf{D} = \varepsilon \vec\mathbf{E} \!\, ,

kjer je:

 \varepsilon \, dielektričnost snovi,
 \vec\mathbf{E} \, jakost električnega polja.

Z zamenjavo in deljenjem imamo:

 \nabla \cdot \vec\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} \!\, .

V odstotnosti spremenljivega magnetnega polja \vec\mathbf{B} Faradayjev indukcijski zakon da:

 \nabla \times \vec\mathbf{E} = -\dfrac{\partial \vec\mathbf{B}} {\partial t} = 0 \!\, ,

pri čemer je:

\nabla \times \, operator rotorja,
t \, čas.

Ker je rotor jakosti električnega polja enak 0, ga določa skalarno električno potencialno polje \varphi (glej Helmholtzova dekompozicija).

 \vec\mathbf{E} = - \nabla \phi \!\, .

Z zamenjavo izločimo \vec\mathbf{E} in dobimo obliko Poissonove enačbe:

 \nabla \cdot \nabla \phi = {\nabla}^{2} \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon} \!\, .

Pri reševanju Poissonove enačbe za potencial moramo poznati porazdelitev gostote naboja. Če je gostota naboja enaka 0, sledi Laplaceova enačba. Če za gostoto naboja velja Boltzmannova porazdelitev, sledi Poisson-Boltzmannova enačba. Slednja igra vlogo pri razvoju Debye-Hücklova teorije razredčenih elektrolitskih raztopin.

Čeprav je zgoraj privzeto, da se magnetno polje ne spreminja s časom, dobimo enako Poissonovo enačbo, če je s časom spremenljivo, vse dokler uporabljamo Coulombovo umeritev. V tako široki sliki računanje \phi ni več dovolj za izračun \vec\mathbf{E}, saj je jakost električnega polja odvisna tudi od magnetnega vektorskega potenciala, ki ga je treba izračunati posebej.

Potencial normalno porazdeljene gostote naboja[uredi | uredi kodo]

Če je gostota naboja  \rho(r) normalno porazdezdeljena sferno in simetrično

 \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}^{3}}\,e^{-r^2/(2\sigma^{2})} \!\, ,

kjer je Q celotni naboj, je rešitev Poissonove enačbe φ (r):

 {\nabla}^2 \phi = - \frac{ \rho }{ \varepsilon } \!\,

dana z:

 \phi(r) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \varepsilon } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right) \!\, ,

kjer je erf(x) funkcija napake. To rešitev lahko preverimo eksplicitno s pazljivim ročnim izračunavanjem {\nabla}^2 \phi. Pri tem se za r, veliko večji od σ, vrednost erf(x) približuje enoti, vrednost potenciala φ (r) pa točkasto nabitemu potencialu  \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r} , kot bi pričakovali. Poleg tega se vrednost funkcije napake približuje 1 zelo hitro, če se ji povečuje argument. Praktično je za r > 3σ relativna napaka manjša od 1/1000.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Članek je dopolnjen s člankom iz PlanetMath.org