Difuzijska enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Difuzíjska enáčba ali drúgi Fickov zákon [~ fíkov ~] je parcialna diferencialna enačba, ki povezuje prvi odvod količine po času z drugim odvodom te količine po kraju. V primeru difuzije je ta količina koncentracija c:

\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2 c}{\partial x^2}

Sorazmernostni faktor je difuzijska konstanta D. V treh dimenzijah nadomestimo drugi odvod po kraju z Laplaceovim operatorjem:

\frac{\partial c}{\partial t} = D \nabla^2 c

Enačbo enake oblike je moč izpeljati tudi za prevajanje toplote (tam velja D=\lambda/\rho c_p, kjer je λ toplotna prevodnost, ρ gostota in cp specifična toplota pri stalnem tlaku) in druge transportne pojave.

Za začetno točkovno porazdelitev, določeno s funkcijo δ, je fundamentalna rešitev difuzijske enačbe podana z Greenovo funkcijo za neomejeno območje, ki je Gaussova porazdelitev:

c(x,t) = \frac{m}{\rho S \sqrt{4\pi D t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4 D t}\right)

Pri poljubni začetni porazdelitvi c(x,t=0) izrazimo rešitev z integralom

c(x,t) = \int_{-\infty}^\infty c(x',0) \frac{m}{\rho S \sqrt{4\pi D t}} \exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4 D t}\right)\,dx'

Difuzijsko enačbo izpeljemo iz difuzijskega zakona, če upoštevamo še kontinuitetno enačbo:

\frac{\partial c}{\partial t} = -\nabla\mathbf{j}

Difuzijska enačba je zgled parabolične parcialne diferencialne enačbe.

Literatura[uredi | uredi kodo]