Norma matrike

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Norma matrike je v matematiki razširitev pojma norme vektorja na matrike.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Označimo s  K \, obseg realnih ali kompleksnih števil. S K^{m \times n} pa označimo vektorski prostor matrik z razsežnostjo  m \times n \, v  K \,.

Norma matrike  A \,, ki jo označimo z  || A || \, je vektorska norma na K^{m \times n} z lastnostmi:

  • \|A\|> 0 če jeA\ne0 in \|A\|= 0, če in samo, če je A=0 ,
  • \|\alpha A\|=|\alpha| \|A\| za vse \alpha v K in vse matrike A v K^{m \times n}
  • \|A+B\| \le \|A\|+\|B\| za vse matrike A \, in B \, v K^{m \times n} \,
  •  ||AB || \le ||A||\cdot||B|| \,.

P norma matrik[uredi | uredi kodo]

Tudi matrikam lahko določimo p normo, ki odgovarja vektorski p-normi. Ta je določena kot

 \left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}. .

Če pa je  p = 1 \, ali lahko normi izračunamo po obrazcu

 \left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^m | a_{ij} |. To pa je največja absolutna vrednost vsote stolpcev matrike.

Kadar pa je  p = \infty \,, dobimo normo s pomočjo

 \left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} | . To pa je največja absolutna vrednost vrstic matrike.

Primer: Imamo matriko

 
      A = \begin{bmatrix}
           3 & 5 & 7 \\
           2 & 6 & 4 \\
           0 & 2 & 8 \\
        \end{bmatrix},
.

Za normo  ||A||_1 \, dobimo  ||A||_1 = max(5, 13, 19) = 19 \,. Norma  ||A||_{\infty} = max(15, 12, 10) = 15 \,.

Kadar pa je  p = 2 \, (Evklidska norma) in je matrika kvadratna ( n = m \,), se norma imenuje spektralna norma.

Spektralna norma matrike  A \, je največja singularna vrednost ali kvadratni koren največje lastne vrednosti pozitivno definitne matrike  A^*A \,

\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^{^*} A)}=\sigma_{\text{max}}(A)

kjer je

Frobeniusova norma[uredi | uredi kodo]

Norna matrike  A \, iz  \mathbb C^{m,n} \, za  p=2 \, se imenuje Frobeniusova norma

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}(A^{{}^*} A)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,\,n\}} \sigma_{i}^2}

kjer je

Norma se imenuje po nemškem matematiku Ferdinandu Georgu Frobeniusu (1849 – 1917). Včasih jo imenujejo tudi Hilbert-Schmidtova norma.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]