Pozitivno definitna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Realna simetrična matrika razsežnosti je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje z realnimi elementi () velja .

Kompleksna matrika z razsežnostjo je pozitivno definitna, če je ℜ(z*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje , kjer z* pomeni konjugirano transponirani vektor in ℜ(c) je realni del števila .

Kompleksna hermitska matrika z razsežnostjo je pozitivno definitna, če je za vse neničelne kompleksne vektorje . Pri tem je vrednost vedno realna.

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Matrika

je pozitivno definitna.

Za vektor velja . Če sta ali , realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika

ni pozitivno definitna, ker za vektor

velja

.

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p.
  • lastne vrednosti matrike , ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
  • naslednje matrike , ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
    • zgornji levi kot matrike z razsežnostjo
    • zgornji levi kot matrike z razsežnostjo
    • zgornji levi kot matrike z razsežnostjo
    • ….
    • sama matrika
  • vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika , ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo

kjer je

  • vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna.
  • če je matrika pozitivno definitna in je realno število, potem je tudi pozitivno definitna matrika

Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem je treba samo zamenjati z in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.

Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika[uredi | uredi kodo]

Hermitska matrika razsežnosti z oznako je negativno definitna, če zanjo velja:

za vse (za realne matrike pa )

Kadar pa velja:

za vse (oziroma za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je:

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]