Logaritemska porazdelitev

Logaritemska porazdelitev
Plot of the logarithmic PMF Funkcija je določena samo za cela števila. Povezave med posameznimi točkami je narisana samo zaradi lažje predstave o poteku funkcije.
Zbirna funcija za logarimično porazdelitev.
oznaka	$Log(p)\!$
parametri	$0<p<1\!$
interval	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$
funkcija verjetnosti (pdf)	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!$
pričakovana vrednost	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!$
mediana
modus	$1$
varianca	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!$
simetrija	zelo komplicirana funkcija
sploščenost	zelo komplicirana funkcija
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!$
karakteristična funkcija	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!$

Logaritemska porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki jo lahko izpeljemo iz Taylorjeve vrste:

-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .

.

Iz tega se dobi

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.

kar vodi do logaritemske porazdelitve

f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}

Uporaba

Logaritemska porazdelitev se uporablja na različnih področjih (zavarovalništvo, fizika, genetika itd). Nekaj primerov ^[1]:

itd.

Funkcija verjetnosti za logaritemsko porazdelitev je:

{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!

Zbirna funkcija verjetnosti logaritemske porazdelitve je

1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!

kjer je

{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!

.

Varianca je enaka

-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!

.

Skupina logaritemsko porazdeljenih slučajnih spremenljivk ima negativno binomsko porazdelitev. To pomeni: če je N slučajna spremenljivka s Poissonovo porazdelitvijo in X_i pomeni neskončno zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk, ki imajo logaritemsko porazdelitev, potem ima

\sum _{n=1}^{N}X_{i}