Lagrangeeva enakost

Lagrangeeva enákost ali Lagrangeeva identitéta [lagránževa ~] je v algebri enakost:

${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggl (}={1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )}\!\,,$

ki velja za dve poljubni množici {a₁, a₂, . . ., a_n} in {b₁, b₂, . . ., b_n} realnih ali kompleksnih števil (oziroma splošneje, elementov komutativnega kolobarja). Ta enakost je poseben primer Binet-Cauchyjeve enakosti. Za kompleksna števila jo lahko zapišemo tudi v obliki:

${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}\!\,,$

kjer uporabimo absolutno vrednost.

Enakost se imenuje po Joseph-Louisu de Lagrangeu.

Ker je desna stran enakosti nenegativna, vsebuje Cauchy-Schwarzevo neenakost v končno razsežnem realnem koordinatnem prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ in njegovem kompleksnem ustrezniku $\mathbb {C} ^{n}$.

Lagrangeeva enakost in zunanja algebra

Lagrangeevo enakost lahko zapišemo s pomočjo zunanjega produkta:

$(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b)\!\,.$

Nanjo lahko zato gledamo kot na enačbo, ki določa dolžino zunanjega produkta dveh vektorjev, kar je ploščina paralelograma, ki ga oklepata, in z izrazi skalarnega produkta dveh vektorjev:

$\|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}\!\,.$

Lagrangeeva enakost in vektorski račun

Če sta ${\vec {\mathbf {a} }}$ in ${\vec {\mathbf {b} }}$ vektorja v $\mathbb {R} ^{3}$, lahko Lagrangeevo enakost zapišemo z vektorskim in skalarnim produktom:

$|{\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}|^{2}+({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})^{2}=|{\vec {\mathbf {a} }}|^{2}|{\vec {\mathbf {b} }}|^{2}=({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})({\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\!\,,$

oziroma:

${\begin{aligned}({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})\cdot ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})&=({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})({\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})-({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})^{2}\\&=({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {a} }}-({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})\cdot {\vec {\mathbf {b} }}\\&=({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {b} }}-({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {a} }}\\&={\begin{vmatrix}{\vec {\mathbf {a} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {a} }}{\vec {\mathbf {b} }}\\{\vec {\mathbf {b} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {b} }}{\vec {\mathbf {b} }}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$

To je poseben primer multiplikativnosti norme v kvaternionski algebri:

$|vw|=|v||w|\!\,,$

oziroma bolj splošno:

${\begin{aligned}({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {w} }})\cdot ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})&=({\vec {\mathbf {v} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})({\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})-({\vec {\mathbf {v} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})({\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})\\&=({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {a} }}-({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})\cdot {\vec {\mathbf {b} }}\\&=({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {w} }}-({\vec {\mathbf {w} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {v} }}\\&={\begin{vmatrix}{\vec {\mathbf {v} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {v} }}{\vec {\mathbf {b} }}\\{\vec {\mathbf {w} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {w} }}{\vec {\mathbf {b} }}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$

Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun

V Sturm-Liouvilleovi teoriji lahko Lagrangeevo enakost zapišemo kot:

$\int _{0}^{1}(Lu)v-u(Lv)\,dx=-p(u'v-uv'){\bigg |}_{0}^{1}$ 

kjer so $p=P(x)$, $q=Q(x)$, $u=U(x)$ in $v=V(x)$ funkcije $x$. $u$ in $v$ imata zvezni drugi odvod na intervalu $[0,1]$. $L$ je Sturm-Liouvilleov diferencialni operator, določen kot:

$Lu=-(pu')'+qu\!\,.$

Glej tudi

• Brahmaguptova enakost