Lagrangeeva enakost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Lagrangeeva enákost ali Lagrangeeva identitéta [lagránževa ~] je v algebri enakost:

ki velja za dve poljubni množici {a1, a2, . . ., an} in {b1, b2, . . ., bn} realnih ali kompleksnih števil (oziroma splošneje, elementov komutativnega kolobarja). Ta enakost je poseben primer Binet-Cauchyjeve enakosti. Za kompleksna števila jo lahko zapišemo tudi v obliki:

kjer uporabimo absolutno vrednost.[1][2]

Enakost se imenuje po Joseph-Louisu de Lagrangeu.

Ker je desna stran enakosti nenegativna, vsebuje Cauchy-Schwarzevo neenakost v končno razsežnem realnem koordinatnem prostoru in njegovem kompleksnem ustrezniku .

Lagrangeeva enakost in zunanja algebra[uredi | uredi kodo]

Lagrangeevo enakost lahko zapišemo s pomočjo zunanjega produkta:

Nanjo lahko zato gledamo kot na enačbo, ki določa dolžino zunanjega produkta dveh vektorjev, kar je ploščina paralelograma, ki ga oklepata, in z izrazi skalarnega produkta dveh vektorjev:

Lagrangeeva enakost in vektorski račun[uredi | uredi kodo]

Če sta in vektorja v , lahko Lagrangeevo enakost zapišemo z vektorskim in skalarnim produktom:

oziroma:

To je poseben primer multiplikativnosti norme v kvaternionski algebri:

oziroma bolj splošno:

Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun[uredi | uredi kodo]

V Sturm-Liouvilleovi teoriji lahko Lagrangeevo enakost zapišemo kot:

 [3]

kjer so , , in funkcije . in imata zvezni drugi odvod na intervalu . je Sturm-Liouvilleov diferencialni operator, določen kot:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: Ameriško matematično društvo. str. 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.  Navedi uporablja nezaželen parameter |coauthors= (pomoč);
  2. ^ Palka, Bruce P. (1991). An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. str. 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9. .
  3. ^ Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2001). "Boundary Value Problems and Sturm–Liouville Theory". Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (PDF) (angleščina) (7th ed. izd.). New York: John Wiley & Sons. str. 630. ISBN 9780471319993. OCLC 64431691.  Navedi uporablja nezaželen parameter |coauthors= (pomoč) (za dve poglavji Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun in Oblika v infinitezimalnem računu tega članka)