Fisherjeva necentralna hipergeometrična porazdelitev

Fisherjeva necentralna hipergeometrična porazdelitev je posplošitev hipergeometrične porazdelitve, V tej porazdelitvi je jemanje vzorcev odvisno od utežnih faktorjev. Takšno vzorčenje imenujemo tudi pristransko ali usmerjeno. Fisherjevo necentralno hipergeometrično porazdelitev lahko smatramo kot pogojno verjetnostno porazdelitev dveh ali več binomsko porazdeljenih spremenljivk, ki so odvisne od skupne vsote.V Fisherjevi necentralni hipergeometrični porazdelitvi ne obravnavamo elementov, ki so enaki, kot je to v hipergeometrični porazdelitvi. Elementi se morajo razlikovati še v neki drugi lastnosti (npr. teži).
Porazdelitev spada med diskretne verjetnostne porazdelitve.
Razen Fisherjeve necentralne hipergeometrične porazdelitve poznamo še Walleniusovo necentralno hipergeometrično porazdelitev, obe pa spadata med necentralne hipergeometrične porazdelitve.
Včasih Fisherjevo necentralno hipergeometrično porazdelitev imenujejo tudi razširjena hipergeometrična porazdelitev.

Primer

Najlažje si predstavljamo Fisherjevo necentralno hipergeometrično porazdelitev, če uporabimo model žare. Predpostavimo, da je v žari m₁ rdečih in m₂ belih kroglic. Skupaj jih je torej N = m₁ + m₂. Vsaka rdeča kroglica ima težo ω₁, bela pa ω₂. Razmerje med težama ω je ω₁/ ω₂. Iz žare potegnemo zaporedoma kroglice tako, da je verjetnost, da smo potegnili določeno kroglico sorazmerna z njeno težo, ni pa odvisna od tega kaj se je zgodilo z drugimi kroglicami. Lahko potegnemo tudi vseh n kroglic naenkrat. Število izvlečenih kroglic z določeno barvo se podreja binomski porazdelitvi. Če je znano skupno število izvlečenih kroglic n, potem je pogojna porazdelitev izvlečenih rdečih kroglic Fisherjeva necentralna hipergeometrična porazdelitev. Če želimo, da je n vnaprej določen, potem moramo izvleči posamezne kroglice eno za drugo. V tem primeru dobimo Walleniusovo necentralno hipergeometrično porazdelitev. Obe porazdelitvi sta enaki hipergeometrični porazdelitvi, kadar imajo vse kroglice enako težo (razmerje tež je enako 1).

Vedno obstoja več kot samo ena necentralna hipergeometrična porazdelitev.

Univariantna porazdelitev

Porazdelitev je univariantna, če imajo v žari kroglice samo dve barvi.

Univariantna Fisherjeva necentralna hipergeometrična porazdelitev
parametri	$m_{1},m_{2}\in \mathbb {N}$ $N=m_{1}+m_{2}$ $n\in [0,N)$ $\omega \in \mathbb {R} _{+}$
interval	$x\in [x_{\min },x_{\max }]$ $x_{\min }=\max(0,n-m_{2})$ $x_{\max }=\min(n,m_{1})$
funkcija verjetnosti (pdf)	${\frac {{\binom {m_{1}}{x}}{\binom {m_{2}}{n-x}}\omega ^{x}}{P_{0}}}$ kjer je $P_{0}=\sum _{y=x_{\min }}^{x_{\max }}{\binom {m_{1}}{y}}{\binom {m_{2}}{n-y}}\omega ^{y}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	${\frac {P_{1}}{P_{0}}}$ , kjer je $P_{k}=\sum _{y=x_{\min }}^{x_{\max }}{\binom {m_{1}}{y}}{\binom {m_{2}}{n-y}}\omega ^{y}\,y^{k}$
mediana
modus	$\,\,\left\lfloor {\frac {-2C}{B-{\sqrt {B^{2}-4AC}}}}\right\rfloor \,$ , kjer je $A=\omega -1$ , $B=m_{1}+n-N-(m_{1}+n+2)\omega$ , $C=(m_{1}+1)(n+1)\omega$
varianca	${\frac {P_{2}}{P_{0}}}-\left({\frac {P_{1}}{P_{0}}}\right)^{2}$ , P_k je podan zgoraj
simetrija
sploščenost (eksces)
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti je enaka ${\frac {{\binom {m_{1}}{x}}{\binom {m_{2}}{n-x}}\omega ^{x}}{P_{0}}}$
kjer je
$P_{0}=\sum _{y=x_{\min }}^{x_{\max }}{\binom {m_{1}}{y}}{\binom {m_{2}}{n-y}}\omega ^{y}$ .

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka ${\frac {P_{1}}{P_{0}}}$ , where $P_{k}=\sum _{y=x_{\min }}^{x_{\max }}{\binom {m_{1}}{y}}{\binom {m_{2}}{n-y}}\omega ^{y}\,y^{k}$ .

Modus

Modus je enak $\,\,\left\lfloor {\frac {-2C}{B-{\sqrt {B^{2}-4AC}}}}\right\rfloor \,$ ,
kjer je $A=\omega -1$ , $B=m_{1}+n-N-(m_{1}+n+2)\omega$ , $C=(m_{1}+1)(n+1)\omega$ .

Varianca

Varianca je enaka ${\frac {P_{2}}{P_{0}}}-\left({\frac {P_{1}}{P_{0}}}\right)^{2}$ , kjer je P_k podan zgoraj.

Multivariantna porazdelitev

Porazdelitev je multivariantna, če imamo v žari kroglice več kot dveh različnih barv (vsaka pa ima samo po eno barvo).

Fisherjeva multivariantna necentralna hipergeometrična porazdelitev
parametri	$c\in \mathbb {N}$ $\mathbf {m} =(m_{1},\ldots ,m_{c})\in \mathbb {N} ^{c}$ $N=\sum _{i=1}^{c}m_{i}$ $n\in [0,N)$ ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c})\in \mathbb {R} _{+}^{c}$
interval	$\mathrm {S} =\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {Z} _{0+}^{c}\,:\,\sum _{i=1}^{c}x_{i}=n\right\}$
funkcija verjetnosti (pdf)	${\frac {1}{P_{0}}}\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{x_{i}}}\omega _{i}^{x_{i}}$ kjer je $P_{0}=\sum _{(y_{0},\ldots ,y_{c})\in \mathrm {S} }\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{y_{i}}}\omega _{i}^{y_{i}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	Približek za pričakovano vrednost μ_i za x_i je $\mu _{i}={\frac {m_{i}r\omega _{i}}{r\omega _{i}+1}}$ kjer je r edina pozitivna rešitev $\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}=n\,$
mediana
modus
varianca
simetrija
sploščenost (eksces)
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti je enaka

{\frac {1}{P_{0}}}\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{x_{i}}}\omega _{i}^{x_{i}}

kjer je

P_{0}=\sum _{(y_{0},\ldots ,y_{c})\in \mathrm {S} }\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{y_{i}}}\omega _{i}^{y_{i}}

Pričakovana vrednost

Približek za pričakovano vrednost μ_i za x_i je
$\mu _{i}={\frac {m_{i}r\omega _{i}}{r\omega _{i}+1}}$ kjer je r edina rešitev $\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}=n\,$

Glej tudi

Zunanje povezave

Opis različnih hipergeometričnih porazdelitev z uporabo modela žare (angleško)