Cauchyjev produkt

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cauchyjev prodúkt [košíjev ~] dveh zaporedij , je v matematiki nezvezna konvolucija zaporedij s katero nastane novo zaporedje , katerega splošna oblika je dana kot:

Je zaporedje, katerega povezana formalna potenčna vrsta je produkt dveh vrst, ki sta podobno povezani z in . Zaporedje se imenuje po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju.

Vrste[uredi | uredi kodo]

Še posebej pomemben primer je obravnava zaporedij , ki so členi dveh strogo formalnih (ne nujno konvergentnih vrst):

po navadi realnih ali kompleksnih. Potem je Cauchyjev produkt definiran z nezvezno konvolucijo kot sledi:

»Formalno« pomeni, da se vrste obravnavajo brez vsakršnega vprašanja o konvergenci. Ni nujno, da so vrste konvergentne.

Z analogijo s končnimi vsotami se pričakuje, da bo v primerih v katerih dve vrsti dejansko konvergirata vsota neskončne vrste:

enaka neskončemu produktu:

prav tako, če bi vsaka od pomnoženih vrst imela končno mnogo členov. To v splošnem ne velja – za posebne primere glej spodaj Mertensov in Cesàrov izrek.

Končno seštevanje[uredi | uredi kodo]

Za produkt dveh končnih vrst in s velja enačba:

Konvergenca in Mertensov izrek[uredi | uredi kodo]

Ne zamenjajte s člankom Mertensovi izreki, ki obravnavajo porazdelitev praštevil.

Naj sta in realni ali kompleksni zaporedji. Franz Mertens je dokazal, da, če vrsta konvergira k , vrsta pa k , in vsaj ena od njiju absolutno konvergira, potem njun Cauchyjev produkt konvergira k .

Ni zadostno, če obe vrsti konvergirata; če sta obe zaporedji pogojno konvergentni, Cauchyjev produkt nujno ne konvergira k produktu obeh vrst, kakor kaže naslednji zgled:

Zgled[uredi | uredi kodo]

Naj sta dve alternirajoči vrsti dani kot:

in sta le pogojno konvergentni (divegenca vrst z absolutnima vrednostima sledi iz direktega primerjalnega kriterija in divergence harmonične vrste). Členi njunega Cauchyjevega produkta so dani z:

Ker za vsak veljata neenakosti in , za kvadratni koren v števcu sledi , in zato, ker je seštevancev, velja:

Zaradi tega ne konvergira k nič ko gre , in zaradi tega vrsta po kriteriju po členih divergira.

Dokaz Mertensovega izreka[uredi | uredi kodo]

Naj vrsta konvergira absolutno. Njene delne vsote so:

kjer je:

Potem velja:

S preureditvijo potem izhaja:

Naj je . Ker je po absolutni konvergenci in, ker konvergira k , ko gre , obstaja takšno celo število , da za vsa cela števila velja:

(to je edino mesto kjer se uporabi asolutna konvergenca). Ker vrsta konvergira, mora po kriteriju po členih konvergirati posamezni člen k 0. Zato obstaja takšno celo število , da za vsa cela števila velja:

Ker tudi konvergira k , ko gre , obstaja takšno celo število , da za vsa cela števila velja:

Potem se za vsa cela števila z izrazom za razdeli vsoto na dva dela, se uporabi trikotniška neenakost za absolutno vrednost in končno z zadnjimi tremi ocenami izhaja:

Po definiciji konvergence vrste je , kot je zahtevano.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Končne vrste[uredi | uredi kodo]

Naj je za vse in za vse . Tukaj se Cauchyjev produkt vrst in enostavno preveri, da je . Tako je za končne vrste, ki so končne vsote, Caushyjev produkt neposredno množenje dveh vrst.

Neskončne vrste[uredi | uredi kodo]

  • Naj je za poljubna dana vrsta in vrsta . Potem je:

po definiciji in binomskem izreku. Ker je formalno in , tako velja . Ker je limita Cauchyjevega produkta dveh absolutno konvergentnih vrst enak produktu limit vrst, tako velja formula: za vse .

  • V drugem zgledu naj je za vse . Potem je za vse , tako da Cauchyjev produkt ne konvergira.

Cesàrov izrek[uredi | uredi kodo]

V primerih, ko sta dve zaporedji konvergentni, ne pa tudi absolutno konvergentni, za Cauchjev produkt še vedno obstaja Cesàrova vsota. Posebej:

Če sta , realni zaporedji z in , potem velja:

To se lahko posploši na primer, ko dve zaporedji nista konvergentni, in zanju obstaja samo Cesàrova vsota:

Izrek[uredi | uredi kodo]

Za in naj za zaporedje obstaja vsota z vsoto in za ostaja vsota z vsoto . Potem za Cauchyjev produkt obstaja vsota z vsoto .

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Vse kar sledi velja za zaporedja v (za kompleksna števila). Cauchyjev produkt se lahko definira za vrste v prostorih (evklidskih prostorih), kjer je množenje notranji produkt. V takšnem primeru, da če dve vrsti konvergirata absolutno, njun Cauchyjev produkt konvergira absoltno k notranjemu produktu limit.

Produkti končno mnogo neskončnih vrst[uredi | uredi kodo]

Naj je takšen, da je (dejansko naslednje velja tudi za , vendar izjava v tem primeru postane trivialna), in naj je neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen -ti konvergirajo absolutno, -ti pa konvergira. Potem vrsta:

konvergira in velja:

Ta izjava se lahko dokaže z indukcijo prek : primer za je enak trditvi o Cauchyjevem produktu. To je osnova indukcije.

Korak indukcije poteka kot sledi: naj je trditev resnična za , tako da je , in naj je neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen -ti konvegirajo absolutno, -ti pa konvergira. Najprej se izvede indukcijska domneva za vrsto . Izhaja, da vrsta:

konvergira, in zato po trikotniški neenakosti in vmesnem kriteriju vrsta:

konvergira, ter tako vrsta:

konvergira absolutno. Tako po indukcijski domnevi, Mertensovem izreku in preimenovanju spremenljivk velja:

Zato formula velja tudi za .

Povezava s konvolucijo funkcij[uredi | uredi kodo]

Lahko se definira tudi Cauchyjev produkt za dvomljivo neskončna zaporedja kot funkcije v . V takšnem primeru Cauchyjev produkt ni vedno definiran: Cauchyjev produkt konstantnega zaporedja 1 s samim seboj na primer ni definiran. To ne izhaja za posamezna neskončna zaporedja, saj so njihove vsote končne.

Lahko obstajajo pari – na primer produkta končnega zaporedja s poljubnim zaporedjem, in produkt . To je povezano z dualnostjo prostorov Lp.

Viri[uredi | uredi kodo]