Cauchyjev produkt

Cauchyjev prodúkt [košíjev ~] dveh zaporedij $\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,$, $\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}\,$ je v matematiki nezvezna konvolucija zaporedij s katero nastane novo zaporedje $\textstyle (c_{n})_{n\geq 0}\,$, katerega splošna oblika je dana kot:

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\!\,.$

Je zaporedje, katerega povezana formalna potenčna vrsta $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}\,$ je produkt dveh vrst, ki sta podobno povezani z $(a_{n})_{n\geq 0}\,$ in $(b_{n})_{n\geq 0}\,$. Zaporedje se imenuje po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju.

Vrste

Še posebej pomemben primer je obravnava zaporedij $\textstyle a_{n},b_{n}\,$, ki so členi dveh strogo formalnih (ne nujno konvergentnih vrst):

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\!\,$

po navadi realnih ali kompleksnih. Potem je Cauchyjev produkt definiran z nezvezno konvolucijo kot sledi:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j},\qquad \mathrm {kjer\ je} \ c_{j}=\sum _{k=0}^{j}a_{k}b_{j-k},\qquad (n=0,1,2,\ldots )\!\,.$

»Formalno« pomeni, da se vrste obravnavajo brez vsakršnega vprašanja o konvergenci. Ni nujno, da so vrste konvergentne.

Z analogijo s končnimi vsotami se pričakuje, da bo v primerih v katerih dve vrsti dejansko konvergirata vsota neskončne vrste:

$\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}\!\,$

enaka neskončemu produktu:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}\right)\!\,,$

prav tako, če bi vsaka od pomnoženih vrst imela končno mnogo členov. To v splošnem ne velja – za posebne primere glej spodaj Mertensov in Cesàrov izrek.

Končno seštevanje

Za produkt dveh končnih vrst $a_{k}\,$ in $b_{k}\,$ s $0<k<n\,$ velja enačba:

$\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)\!\,.$

Konvergenca in Mertensov izrek

Ne zamenjajte s člankom Mertensovi izreki, ki obravnavajo porazdelitev praštevil.

Naj sta $\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,$ in $\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}\,$ realni ali kompleksni zaporedji. Franz Mertens je dokazal, da, če vrsta $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,$ konvergira k $A\,$, vrsta $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\,$ pa k $B\,$, in vsaj ena od njiju absolutno konvergira, potem njun Cauchyjev produkt konvergira k $AB\,$.

Ni zadostno, če obe vrsti konvergirata; če sta obe zaporedji pogojno konvergentni, Cauchyjev produkt nujno ne konvergira k produktu obeh vrst, kakor kaže naslednji zgled:

Zgled

Naj sta dve alternirajoči vrsti dani kot:

$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\!\,,$

in sta le pogojno konvergentni (divegenca vrst z absolutnima vrednostima sledi iz direktega primerjalnega kriterija in divergence harmonične vrste). Členi njunega Cauchyjevega produkta so dani z:

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}},\qquad (n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0)\!\,.$

Ker za vsak $k\in \{0,1,\ldots ,n\}\,$ veljata neenakosti $k+1\leq n+1\,$ in $n-k+1\leq n+1\,$, za kvadratni koren v števcu sledi ${\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}\leq n+1\,$, in zato, ker je $n+1\,$ seštevancev, velja:

$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}\geq 1,\qquad (n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0)\!\,.$

Zaradi tega $c_{n}\,$ ne konvergira k nič ko gre $n\to \infty \,$, in zaradi tega vrsta $\textstyle (c_{n})_{n\geq 0}\,$ po kriteriju po členih divergira.

Dokaz Mertensovega izreka

Naj vrsta $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,$ konvergira absolutno. Njene delne vsote so:

$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{in}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\!\,,$

kjer je:

$c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\!\,.$

Potem velja:

$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}\!\,.$

S preureditvijo potem izhaja:

$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+A_{n}B\!\,.$

Naj je $\varepsilon >0\,$. Ker je $\textstyle \sum _{k\in {\mathbb {N} }}|a_{k}|<\infty \,$ po absolutni konvergenci in, ker $B_{n}\,$ konvergira k $B\,$, ko gre $n\to \infty \,$, obstaja takšno celo število $N\,$, da za vsa cela števila $n\geq N\,$ velja:

$|B_{n}-B|\leq {\frac {\varepsilon /3}{\sum _{k\in {\mathbb {N} }}|a_{k}|+1}}\!\,$

(to je edino mesto kjer se uporabi asolutna konvergenca). Ker vrsta $\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,$ konvergira, mora po kriteriju po členih konvergirati posamezni člen $a_{n}\,$ k 0. Zato obstaja takšno celo število $M\,$, da za vsa cela števila $n\geq M\,$ velja:

$|a_{n}|\leq {\frac {\varepsilon }{3N(\sup _{i\in \{0,\dots ,N-1\}}|B_{i}-B|+1)}}\!\,.$

Ker tudi $A_{n}\,$ konvergira k $A\,$, ko gre $n\to \infty \,$, obstaja takšno celo število $L\,$, da za vsa cela števila $n\geq L\,$ velja:

$|A_{n}-A|\leq {\frac {\varepsilon /3}{|B|+1}}\!\,.$

Potem se za vsa cela števila $n\geq \max\{L,M+N\}\,$ z izrazom za $C_{n}\,$ razdeli vsoto na dva dela, se uporabi trikotniška neenakost za absolutno vrednost in končno z zadnjimi tremi ocenami izhaja:

${\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{\biggr |}\\&\leq \sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /(3N)}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3}+{}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3}\leq \varepsilon \!\,.\end{aligned}}$

Po definiciji konvergence vrste je $C_{n}\to AB\,$, kot je zahtevano.

Zgledi

Končne vrste

Naj je $\textstyle a_{i}=0\,$ za vse $i>n\,$ in $\textstyle b_{i}=0\,$ za vse $\textstyle i>m\,$. Tukaj se Cauchyjev produkt vrst $\textstyle \sum a_{n}\,$ in $\textstyle \sum b_{n}\,$ enostavno preveri, da je $\textstyle (a_{0}+\cdots +a_{n})(b_{0}+\cdots +b_{m})\,$. Tako je za končne vrste, ki so končne vsote, Caushyjev produkt neposredno množenje dveh vrst.

Neskončne vrste

• Naj je za poljubna $\textstyle x,y\in \mathbb {R} \,$ dana vrsta $\textstyle a_{n}=x^{n}/n!\,$ in vrsta $\textstyle b_{n}=y^{n}/n!\,$. Potem je:

$c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}\!\,$

po definiciji in binomskem izreku. Ker je formalno $\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}\,$ in $\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}\,$, tako velja $\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}\,$. Ker je limita Cauchyjevega produkta dveh absolutno konvergentnih vrst enak produktu limit vrst, tako velja formula: $\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\,$ za vse $\textstyle x,y\in \mathbb {R} \,$.

• V drugem zgledu naj je $\textstyle a_{n}=b_{n}=1\,$ za vse $\textstyle n\in \mathbb {N} \,$. Potem je $\textstyle c_{n}=n+1\,$ za vse $n\in \mathbb {N} \,$, tako da Cauchyjev produkt $\textstyle \sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )\,$ ne konvergira.

Cesàrov izrek

V primerih, ko sta dve zaporedji konvergentni, ne pa tudi absolutno konvergentni, za Cauchjev produkt še vedno obstaja Cesàrova vsota. Posebej:

Če sta $\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,$, $\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}\,$ realni zaporedji z $\textstyle \sum a_{n}\to A\,$ in $\textstyle \sum b_{n}\to B\,$, potem velja:

${\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB\!\,.$

To se lahko posploši na primer, ko dve zaporedji nista konvergentni, in zanju obstaja samo Cesàrova vsota:

Izrek

Za $\textstyle r>-1\,$ in $\textstyle s>-1\,$ naj za zaporedje $\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,$ obstaja vsota $\textstyle (C,\;r)\,$ z vsoto $A\,$ in za $\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}\,$ ostaja vsota $\textstyle (C,\;s)\,$ z vsoto $B\,$. Potem za Cauchyjev produkt obstaja vsota $\textstyle (C,\;r+s+1)\,$ z vsoto $AB\,$.

Posplošitve

Vse kar sledi velja za zaporedja v $\textstyle \mathbb {C} \,$ (za kompleksna števila). Cauchyjev produkt se lahko definira za vrste v $\textstyle \mathbb {R} ^{n}\,$ prostorih (evklidskih prostorih), kjer je množenje notranji produkt. V takšnem primeru, da če dve vrsti konvergirata absolutno, njun Cauchyjev produkt konvergira absoltno k notranjemu produktu limit.

Produkti končno mnogo neskončnih vrst

Naj je $n\in \mathbb {N} \,$ takšen, da je $n\geq 2\,$ (dejansko naslednje velja tudi za $n=1\,$, vendar izjava v tem primeru postane trivialna), in naj je $\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}\,$ neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen $n\,$-ti konvergirajo absolutno, $n\,$-ti pa konvergira. Potem vrsta:

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\!\,$

konvergira in velja:

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}=\prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)\!\,.$

Ta izjava se lahko dokaže z indukcijo prek $n\,$: primer za $n=2\,$ je enak trditvi o Cauchyjevem produktu. To je osnova indukcije.

Korak indukcije poteka kot sledi: naj je trditev resnična za $n\in \mathbb {N} \,$, tako da je $n\geq 2\,$, in naj je $\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}\,$ neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen $n+1\,$-ti konvegirajo absolutno, $n+1\,$-ti pa konvergira. Najprej se izvede indukcijska domneva za vrsto $\sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|\,$. Izhaja, da vrsta:

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}1-k_{2}}|\!\,$

konvergira, in zato po trikotniški neenakosti in vmesnem kriteriju vrsta:

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|\!\,$

konvergira, ter tako vrsta:

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\!\,$

konvergira absolutno. Tako po indukcijski domnevi, Mertensovem izreku in preimenovanju spremenljivk velja:

${\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\!\,.\end{aligned}}$

Zato formula velja tudi za $n+1\,$.

Povezava s konvolucijo funkcij

Lahko se definira tudi Cauchyjev produkt za dvomljivo neskončna zaporedja kot funkcije v $\textstyle \mathbb {Z} \,$. V takšnem primeru Cauchyjev produkt ni vedno definiran: Cauchyjev produkt konstantnega zaporedja 1 s samim seboj $\textstyle (\dots ,1,\dots )\,$ na primer ni definiran. To ne izhaja za posamezna neskončna zaporedja, saj so njihove vsote končne.

Lahko obstajajo pari – na primer produkta končnega zaporedja s poljubnim zaporedjem, in produkt $\textstyle \ell ^{1}\times \ell ^{\infty }\,$. To je povezano z dualnostjo prostorov L^p.

Viri

• Apostol, Tom Mike (1974), Mathematical Analysis (2. izd.), Addison Wesley, str. 204, COBISS 14133734, ISBN 978-0-201-00288-1
• Hardy, Godfrey Harold (1949), Divergent Series, Oxford University Press, str. 227–229, COBISS 22984762462