Trikotna porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Trikotna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za trikotno porazdelitev.
parametri a:~a\in (-\infty,\infty)
b:~b>a\,
c:~a\le c\le b\,
interval a \le x \le b \!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)

                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{za \ } a \le x \le c \\ & \\
                    \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{za \ } c \le x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)

                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{ za\ } a \le x \le c \\ & \\
                    1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{ za\ } c \le x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
pričakovana vrednost \frac{a+b+c}{3}
mediana 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{ za \ } c\!\ge\!\frac{a\!+\!b}{2}\\ & \\
                    b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{ za \ } c\!\le\!\frac{a\!+\!b}{2} 
                  \end{matrix}
                \right.
modus c\,
varianca \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}
simetrija 
              \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}
sploščenost -\frac{3}{5}
entropija \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)
funkcija generiranja momentov
(mgf)
2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}
karakteristična funkcija -2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}

Trikotna porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Ime ima po značilni obliki funkcije gostote verjetnosti. Slučajna spremenljivka, ki je porazdeljena po trikotni porazdelitvi, lahko zavzame vrednosti, ki so večje od neke konstante (parameter a) in manjše od neke druge konstantne vrednosti (parameter c). Pri tem pa je modus porazdelitve enak tretji konstantni vrednosti (parameter c)

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev je

f(x|a,b,c)=\left\{
                      \begin{matrix}
                          \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{za\ } a \le x \le c \\ & \\
                          \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{za\ } c \le x \le b \\ & \\
                          0                         & \mathrm{za\ vse\ ostale\ vrednosti}
                      \end{matrix}
                  \right.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka


                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{ za\ } a \le x \le c \\ & \\
                    1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{ za\ } c \le x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
              .

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\frac{a+b+c}{3}.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je

-\frac{3}{5}.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak


              \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}
              .

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}.

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]