Trikotna porazdelitev

Trikotna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za trikotno porazdelitev.
parametri	$a:~a\in (-\infty,\infty)$ $b:~b>a\,$ $c:~a\le c\le b\,$
interval	$a \le x \le b \!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{za \ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{za \ } c \le x \le b \end{matrix} \right.$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\left\{ \begin{matrix} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{ za\ } a \le x \le c \\ & \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{ za\ } c \le x \le b \end{matrix} \right.$
pričakovana vrednost	$\frac{a+b+c}{3}$
mediana	$\left\{ \begin{matrix} a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{ za \ } c\!\ge\!\frac{a\!+\!b}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{ za \ } c\!\le\!\frac{a\!+\!b}{2} \end{matrix} \right.$
modus	$c\,$
varianca	$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$
simetrija	$\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$
sploščenost	$-\frac{3}{5}$
entropija	$\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
karakteristična funkcija	$-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$

Trikotna porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Ime ima po značilni obliki funkcije gostote verjetnosti. Slučajna spremenljivka, ki je porazdeljena po trikotni porazdelitvi, lahko zavzame vrednosti, ki so večje od neke konstante (parameter a) in manjše od neke druge konstantne vrednosti (parameter c). Pri tem pa je modus porazdelitve enak tretji konstantni vrednosti (parameter c)

Lastnosti [uredi]

Funkcija gostote verjetnosti [uredi]

Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev je

$f(x|a,b,c)=\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{za\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{za\ } c \le x \le b \\ & \\ 0 & \mathrm{za\ vse\ ostale\ vrednosti} \end{matrix} \right.$

Zbirna funkcija verjetnosti [uredi]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\left\{ \begin{matrix} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{ za\ } a \le x \le c \\ & \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{ za\ } c \le x \le b \end{matrix} \right.$ .

Pričakovana vrednost [uredi]

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{a+b+c}{3}$ .

Varianca [uredi]

Varianca je enaka

$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$ .

Sploščenost [uredi]

Sploščenost je

$-\frac{3}{5}$ .

Koeficient simetrije [uredi]

Koeficient simetrije je enak

$\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$ .

Funkcija generiranja momentov [uredi]

Funkcija generiranja momentov je

$2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$ .

Karakteristična funkcija [uredi]

Karakteristična funkcija je

$-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$ .

Povezave z drugimi porazdelitvami [uredi]

Če sta $X \!$ in $Y \!$ dve slučajni spremenljivki, ki sta porazdeljeni po enakomerni zvezni porazdelitvi, potem je slučajna spremenljivka $Y=\frac {X_1+X_2}{2} \!$ porazdeljena po trikotni porazdelitvi s parametri $a=0 \!$ , $b=1 \!$ in $c=1/2 \!$
Če sta $X \!$ in $Y \!$ dve slučajni spremenljivki, ki sta porazdeljeni po enakomerni zvezni porazdelitvi, potem je slučajna spremenljivka $\left | Y=X_1-X_2 \right |\!$ porazdeljena po trikotni porazdelitvi s parametri $a=0 \!$ , $b=1 \!$ in $c=0 \!$