Racionalna normalna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Racionalna normalna krivulja je v matematiki gladka racionalna krivulja C s stopnjo  n \, v projektivnem n-prostoru \mathbb{P}^n .

Je enostaven primer projektivne varietete. To je Veronesova varieteta, kadar je domena projektivna premica. Za n = 2 je to običajna parabola, za n = 3 pa je to zvita krivulja tretje stopnje.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Racionalna normalna krivulja je dana parametrično kot slika preslikave

\nu:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^n.

To pa priredi homogenim koordinatam [S:T] vrednost

\nu:[S:T] \mapsto [S^n:S^{n-1}T:S^{n-2}T^2:\ldots:T^n].

V afinih koordinatah za  x_0\ \neq \ 0 je preslikava

\nu:x \mapsto (x,x^2, \ldots ,x^n).

To pomeni, da je racionalna normalna krivulja zaprtje z eno točko v neskončnosti afine krivulje (x,x^2,\dots,x^n).

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • vsaka točka na C je linearno neodvisna. Nahaja se v \mathbb{P}^n. Ta lastnost loči racionalno normalno krivuljo od vseh ostalih.
  • za dane n + 3 točke v \mathbb{P}^n, ki se nahajajo v splošnem položaju, kar pomeni, da n + 1 točk ne leži v hiperravnini. Skozi nje poteka racionalna normalna krivulja. Krivuljo lahko nedvoumno določimo s pomočjo parameterizacije tako, da po preureditvi leži n + 1 točk na koordinatnih oseh, nato pa preslikamo drugi dve točki v [S : T] = [0 : 1] in [S : T] = [1 : 0]
  • tangentna in sekantna premica racionalne normalne krivulje sta paroma disjunktni, razen v točkah same krivulje.

Znanih je \binom{n+2}{2}-2n-1 neodvisnih kvadrikov, ki generirajo ideal krivulje.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]