Težiščni koordinatni sistem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bodo \textbf{x}_1 \ldots \textbf{x}_n oglišča simpleksa v vektorskem prostoru  A \,

in, če za neko točko \textbf{p} v  A \, velja

 ( a_1 + \cdots + a_n ) \textbf{p} = a_1 \, \textbf{x}_1 + \cdots + a_n \, \textbf{x}_n in najmanj eden izmed   a_1 + \cdots + a_n \, ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti  ( a_1 + \cdots + a_n) \, težiščne koordinate točke \textbf{p} glede na  x_1 \cdots x_n \,.

Oglišča imajo koordinate \textbf{x}_1=(1, 0, 0, ..., 0), \textbf{x}_2=(0, 1, 0, ..., 0), \ldots, \textbf{x}_n=(0, 0, 0, ..., 1).

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak  b \,, ki ni enak nič, so tudi  (ba_1, \cdots, ba_n) \, težiščne koordinate za  p \,. Kadar koordinate niso negativne, točka  P \, leži v konveksni ogrinjači za  x_1  \cdots x_n \,, to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotniku[uredi | uredi kodo]

Težiščne koordinate (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}) nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik  T \,, ki je določen s tremi oglišči  r_1 \,,  r_2 \, in  r_3 \,. Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

\textbf{r} = \lambda_{1} \textbf{r}_{1} + \lambda_{2} \textbf{r}_{2} + \lambda_{3} \textbf{r}_{3},

kjer so

  •  \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \, težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = 1\,.

Pretvorba v težiščne koordinate[uredi | uredi kodo]

Imamo dano točko  r \, (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate  \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \, v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah  (x, y) \, z uporabo oglišč  r_{1}, r_{2}, r_{3} \, kot


\begin{matrix}
x = \lambda_{1} x_{1} +  \lambda_{2} x_{2} +  \lambda_{3} x_{3} \\
y = \lambda_{1} y_{1} +  \lambda_{2} y_{2} +  \lambda_{3} y_{3} \\
\end{matrix}
\,.

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo


\textbf{T} \cdot \lambda = \textbf{r}-\textbf{r}_3
\,

kjer je

  •  \lambda \, je vektor težiščnih koordinat
  •  r \, vektor v kartezičnih koordinatah
  •  T \, matrika, ki ima vrednost

\textbf{T} = \left(\begin{matrix}
x_1-x_3 & x_2-x_3 \\
y_1-y_3 & y_2-y_3 \\
\end{matrix}\right)
.

Ker sta  r_1-r_2\, in  r_2-r_3\, linearno neodvisna, je matrika  T \, obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo


\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{matrix}\right) = \textbf{T}^{-1} ( \textbf{r}-\textbf{r}_3 )
\,.

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

\lambda_1=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,
\lambda_2=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_3-y_1)(x_2-x_3)+(x_1-x_3)(y_2-y_3)}\, ,
\lambda_3=1-\lambda_1-\lambda_2\, .

Težiščne koordinate v tetraedru[uredi | uredi kodo]

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate  \lambda = (1, 0, 0, 0) \,.

Tudi tukaj velja


\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{matrix}\right) = \textbf{T}^{-1} ( \textbf{r}-\textbf{r}_4 )
\,

kjer je

  •  T \, matrika  3 \times 3 \,, ki ima obliko

\textbf{T} = \left(\begin{matrix}
x_1-x_4 & x_2-x_4 & x_3-x_4\\
y_1-y_4 & y_2-y_4 & y_3-y_4\\
z_1-z_4 & z_2-z_4 & z_3-z_4
\end{matrix}\right)

Posplošeni težiščni koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

(a_1 + \cdots + a_n) p = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n

kjer so  x_1 \cdots x_n \, oglišča politopa.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]