Težiščni koordinatni sistem

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

Definicija

Naj bodo $\textbf{x}_1 \ldots \textbf{x}_n$ oglišča simpleksa v vektorskem prostoru $A \,$

in, če za neko točko $\textbf{p}$ v $A \,$ velja

$( a_1 + \cdots + a_n ) \textbf{p} = a_1 \, \textbf{x}_1 + \cdots + a_n \, \textbf{x}_n$ in najmanj eden izmed $a_1 + \cdots + a_n \,$ ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti $( a_1 + \cdots + a_n) \,$ težiščne koordinate točke $\textbf{p}$ glede na $x_1 \cdots x_n \,$.

Oglišča imajo koordinate $\textbf{x}_1=(1, 0, 0, ..., 0), \textbf{x}_2=(0, 1, 0, ..., 0), \ldots, \textbf{x}_n=(0, 0, 0, ..., 1)$.

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak $b \,$, ki ni enak nič, so tudi $(ba_1, \cdots, ba_n) \,$ težiščne koordinate za $p \,$. Kadar koordinate niso negativne, točka $P \,$ leži v konveksni ogrinjači za $x_1 \cdots x_n \,$, to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotniku

Težiščne koordinate $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3})$ nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik $T \,$, ki je določen s tremi oglišči $r_1 \,$, $r_2 \,$ in $r_3 \,$. Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

$\textbf{r} = \lambda_{1} \textbf{r}_{1} + \lambda_{2} \textbf{r}_{2} + \lambda_{3} \textbf{r}_{3},$

kjer so

• $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \,$ težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

$\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = 1\,$.

Pretvorba v težiščne koordinate

Imamo dano točko $r \,$ (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \,$ v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah $(x, y) \,$ z uporabo oglišč $r_{1}, r_{2}, r_{3} \,$ kot

$\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \lambda_{3} x_{3} \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} + \lambda_{3} y_{3} \\ \end{matrix} \,$.

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo

$\textbf{T} \cdot \lambda = \textbf{r}-\textbf{r}_3 \,$

kjer je

• $\lambda \,$ je vektor težiščnih koordinat
• $r \,$ vektor v kartezičnih koordinatah
• $T \,$ matrika, ki ima vrednost

$\textbf{T} = \left(\begin{matrix} x_1-x_3 & x_2-x_3 \\ y_1-y_3 & y_2-y_3 \\ \end{matrix}\right)$.

Ker sta $r_1-r_2\,$ in $r_2-r_3\,$ linearno neodvisna, je matrika $T \,$ obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo

$\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{matrix}\right) = \textbf{T}^{-1} ( \textbf{r}-\textbf{r}_3 ) \,$.

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

$\lambda_1=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$

$\lambda_2=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_3-y_1)(x_2-x_3)+(x_1-x_3)(y_2-y_3)}\, ,$

$\lambda_3=1-\lambda_1-\lambda_2\,$.

Težiščne koordinate v tetraedru

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate $\lambda = (1, 0, 0, 0) \,$.

Tudi tukaj velja

$\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{matrix}\right) = \textbf{T}^{-1} ( \textbf{r}-\textbf{r}_4 ) \,$

kjer je

• $T \,$ matrika $3 \times 3 \,$, ki ima obliko

$\textbf{T} = \left(\begin{matrix} x_1-x_4 & x_2-x_4 & x_3-x_4\\ y_1-y_4 & y_2-y_4 & y_3-y_4\\ z_1-z_4 & z_2-z_4 & z_3-z_4 \end{matrix}\right)$

Posplošeni težiščni koordinatni sistem

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

$(a_1 + \cdots + a_n) p = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n$

kjer so $x_1 \cdots x_n \,$ oglišča politopa.

Zunanje povezave

• Uporaba homogenih težiščnih koordinat v ravninski Evklidski geometriji (v angleščini)
• Zbirka člankov o težiščnem koordinatnem sistemu (v angleščini)
• Težiščni koordinatni sistem (v angleščini)