Modularna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Modularna krivulja Y(Γ) je v teoriji števil in algebrski geometriji Riemannova ploskev ali odgovarjajoča algebrska krivulja, ki nastane kot kvocient kompleksnega zgornje polravnine H z akcijo kongruenčne podgrupe Γ modularne grupe vseh matrik 2x2 oziroma njihovih modularnih grup (SL(2, Z)).

Izraz modularna krivulja se lahko uporabi tudi za kompaktificirane modularne krivulje pri katerih se kompaktifikacije dosežejo z dodajanjem končno mnogo točk (točke obrata za Γ) kvocientu s pomočjo delovanja na razširjeno kompleksno zgornjo polravnino. Te točke modularne krivulje parametrizirajo izomorfizem razredov eliptičnih krivulj skupaj z dodatnimi strukturami odvisnimi od grupe Γ. Takšen način razlage omogoča, da damo algebrsko definicijo modularnih krivulj ne, da bi se sklicevali na kompleksna števila. Razen tega se lahko dokaže, da so modularne krivulje definirane nad obsegom Q racionalnih števil ali ciklotomičnim obsegom.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Modularna grupa SL(2, Z) deluje na zgornjo polravnino z Möbiusovo preslikavo. Analitična definicija modularne krivulje vključuje tudi kongruenčno podgrupo Γ(N) za SL(2, Z). To pomeni, da podgrupa vsebuje glavno kongruenčno podgrupo nivoja N, to pa je Γ(N) za vsak pozitiven N, kjer je

\Gamma(N)=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}:a,d\equiv1(\text{mod }N)\text{ and }b,c\equiv0(\text{mod }N)
\right\} .

Minimalni N se imenuje nivo za Γ. Kompleksna struktura se lahko vzame kot kvocient in se dobi nekompaktna Riemannova ploskev, ki jo označujemo z Y(Γ).

Kompaktificirane modularne krivulje[uredi | uredi kodo]

Splošna oblika kompaktifikacije Y(Γ) se dobi z dodajanjem končnega števila točk, ki so točke obrata za Γ. To se doseže z akcijo nad Γ v razširjeni kompleksni zgornji polravnini HQ ∪ {∞}, ki je podmnožica Riemannove sfere P1(C). Grupa Γ deluje na podmnožico Q ∪ {∞} in jo pri tem razdeli na neskončno veliko orbit, ki jih imenujemo točke obrata za Γ. Torej lahko kompleksno strukturo postavimo v kvocient Γ\H* in ga s tem spremenimo v Riemannovo ploskev X( Γ), ki pa s tem postane kompaktna. Ta prostor je kompaktifikacija prostora Y( Γ)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]