Norma matrike

Norma matrike je v matematiki razširitev pojma norme vektorja na matrike.

Definicija

Označimo s $K \,$ obseg realnih ali kompleksnih števil. S $K^{m \times n}$ pa označimo vektorski prostor matrik z razsežnostjo $m \times n \,$ v $K \,$.

Norma matrike $A \,$, ki jo označimo z $|| A || \,$ je vektorska norma na $K^{m \times n}$ z lastnostmi:

• $\|A\|> 0$ če je$A\ne0$ in $\|A\|= 0$, če in samo, če je $A=0 ,$
• $\|\alpha A\|=|\alpha| \|A\|$ za vse $\alpha$ v $K$ in vse matrike $A$ v $K^{m \times n}$
• $\|A+B\| \le \|A\|+\|B\|$ za vse matrike $A \,$ in $B \,$ v $K^{m \times n} \,$
• $||AB || \le ||A||\cdot||B|| \,$.

P norma matrik

Tudi matrikam lahko določimo p normo, ki odgovarja vektorski p-normi. Ta je določena kot

$\left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}.$.

Če pa je $p = 1 \,$ ali lahko normi izračunamo po obrazcu

$\left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^m | a_{ij} |$. To pa je največja absolutna vrednost vsote stolpcev matrike.

Kadar pa je $p = \infty \,$, dobimo normo s pomočjo

$\left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} |$. To pa je največja absolutna vrednost vrstic matrike.

Primer: Imamo matriko

$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 2 & 8 \\ \end{bmatrix},$.

Za normo $||A||_1 \,$ dobimo $||A||_1 = max(5, 13, 19) = 19 \,$. Norma $||A||_{\infty} = max(15, 12, 10) = 15 \,$.

Kadar pa je $p = 2 \,$ (Evklidska norma) in je matrika kvadratna ($n = m \,$), se norma imenuje spektralna norma.

Spektralna norma matrike $A \,$ je največja singularna vrednost ali kvadratni koren največje lastne vrednosti pozitivno definitne matrike $A^*A \,$

$\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^{^*} A)}=\sigma_{\text{max}}(A)$

kjer je

• $A^* \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A \,$
• $\lambda \,$ lastna vrednost matrike

Frobeniusova norma

Norna matrike $A \,$ iz $\mathbb C^{m,n} \,$ za $p=2 \,$ se imenuje Frobeniusova norma

$\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}(A^{{}^*} A)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,\,n\}} \sigma_{i}^2}$

kjer je

• $A^* \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A \,$
• $\sigma_{i} \,$ singularna vrednost matrike $A \,$
• $\operatorname {tr} \,$ sled matrike $A \,$.

Norma se imenuje po nemškem matematiku Ferdinandu Georgu Frobeniusu (1849 – 1917). Včasih jo imenujejo tudi Hilbert-Schmidtova norma.

Zunanje povezave

• Matrične norme(poglavje 3)(v slovenščini)
• Frobeniusova norma (v angleščini)
• Frobeniusova norma (v angleščini)
• Norma matrike (v angleščini)