Pozitivno definitna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Realna simetrična matrika  M \, razsežnosti  n \times n \, je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje  z \, z realnimi elementi (z \in \mathbb{R}^n) velja  z^T Mz > 0 \,.

Kompleksna matrika  M \, z razsežnostjo  n \times n \, je pozitivno definitna, če je ℜ(z*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje  z \,, kjer z* pomeni konjugirano transponirani vektor  z \, in ℜ(c) je realni del števila  c \,.

Kompleksna Hermitska matrika  M \, z razsežnostjo  n \times n \, je pozitivno definitna, če je  z^*Mz > 0 \, za vse neničelne kompleksne vektorje  z \,. Pri tem je vrednost  z^*Mz > 0 \, vedno realna.

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za Hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker zanje ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.

Primeri[uredi | uredi kodo]

Matrika

 M_0 =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} je pozitivno definitna.

Za vektor \textbf{z}= \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1\end{bmatrix} velja  \begin{bmatrix} z_0 & z_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1\end{bmatrix}=z_0^2+z_1^2;. Če sta  z_0 \, ali  z_1 \,, realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika

M_2 =  \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}

ni pozitivno definitna, ker za vektor

\textbf{z}= \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}

velja

 \begin{bmatrix} 1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}=-2 < 0 \,.

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • Hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p
  • Lastne vrednosti  \lambda_i \, matrike  M \,, ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
  • Naslednje matrike  M \,, ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
    • Zgornji levi kot matrike  M \, z razsežnostjo  1 \times 1 \,
    • Zgornji levi kot matrike  M \, z razsežnostjo  2 \times 2 \,
    • Zgornji levi kot matrike  M \, z razsežnostjo  3 \times 3 \,
    • ….
    • Sama matrika  M \,
  • Vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika  L \,, ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo
 M = L.L^* \,

kjer je

Vse zgornje lastnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem moramo samo zamenjati \mathbb{C}^n z \mathbb{R}^n in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.

Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika[uredi | uredi kodo]

Hermitska matrika razsežnosti  n \times n \, z oznako  M \, je negativno definitna, če zanjo velja

x^{*} M x < 0\,

za vse x \in \mathbb{C}^n (za realne matrike pa x \in \mathbb{R}^n)

Kadar pa velja

x^{*} M x \geq 0

za vse x \in \mathbb{C}^n (oziroma x \in \mathbb{R}^n za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je

x^{*} M x \leq 0

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]