Pozitivno definitna matrika

Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

Definicija

Realna simetrična matrika $M \,$ razsežnosti $n \times n \,$ je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje $z \,$ z realnimi elementi ($z \in \mathbb{R}^n$) velja $z^T Mz > 0 \,$.

Kompleksna matrika $M \,$ z razsežnostjo $n \times n \,$ je pozitivno definitna, če je ℜ(z^*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje $z \,$, kjer z^* pomeni konjugirano transponirani vektor $z \,$ in ℜ(c) je realni del števila $c \,$.

Kompleksna Hermitska matrika $M \,$ z razsežnostjo $n \times n \,$ je pozitivno definitna, če je $z^*Mz > 0 \,$ za vse neničelne kompleksne vektorje $z \,$. Pri tem je vrednost $z^*Mz > 0 \,$ vedno realna.

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za Hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker zanje ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.

Primeri

Matrika

$M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ je pozitivno definitna.

Za vektor $\textbf{z}= \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1\end{bmatrix}$ velja $\begin{bmatrix} z_0 & z_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1\end{bmatrix}=z_0^2+z_1^2;$. Če sta $z_0 \,$ ali $z_1 \,$, realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika

$M_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$

ni pozitivno definitna, ker za vektor

$\textbf{z}= \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}$

velja

$\begin{bmatrix} 1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}=-2 < 0 \,$.

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

Lastnosti

• Hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p
• Lastne vrednosti $\lambda_i \,$ matrike $M \,$, ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
• Naslednje matrike $M \,$, ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
  • Zgornji levi kot matrike $M \,$ z razsežnostjo $1 \times 1 \,$
  • Zgornji levi kot matrike $M \,$ z razsežnostjo $2 \times 2 \,$
  • Zgornji levi kot matrike $M \,$ z razsežnostjo $3 \times 3 \,$
  • ….
  • Sama matrika $M \,$
• Vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika $L \,$, ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo

$M = L.L^* \,$

kjer je

• • $L^* \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $L \,$.
• Vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna.
• Če je matrika $M \,$ pozitivno definitna in je $r \,$ realno število, potem je tudi $rM \,$pozitivno definitna matrika

Vse zgornje lastnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem moramo samo zamenjati $\mathbb{C}^n$ z $\mathbb{R}^n$ in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.

Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika

Hermitska matrika razsežnosti $n \times n \,$ z oznako $M \,$ je negativno definitna, če zanjo velja

$x^{*} M x < 0\,$

za vse $x \in \mathbb{C}^n$ (za realne matrike pa $x \in \mathbb{R}^n$)

Kadar pa velja

$x^{*} M x \geq 0$

za vse $x \in \mathbb{C}^n$ (oziroma $x \in \mathbb{R}^n$ za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je

$x^{*} M x \leq 0$

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna.

Glej tudi

• pozitivno definitna funkcija
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Pozitivno definitna matrika na MathWorld (v angleščini)
• Pozitivna definitnost na PlanethMath (v angleščini)
• Lastnosti pozitivno definitne matrike (v angleščini)