Sled matrike

Sled matrike (oznaka v angleških besedilih $\mathrm{Tr} (\dots) \,$ ali $\mathrm{tr} (\dots) \,$, v nemških besedilih $\mathrm{Sp} (\dots) \,$ ali $\mathrm{Spur} (\dots) \,$, v slovenščini se uporablja $\mathrm{sl} (\dots) \,$ ) je v linearni algebri za kvadratno matriko $A \,$, ki ima razsežnost $n \times n \,$ določena kot vsota elementov na diagonali matrike:

$\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \!\, ,$

kjer je

• $a_{ij} \,$ element matrike v i-ti vrstici in j-tem stolpcu
• $A \,$ je matrika

Vidi se, da je sled vsota lastnih vrednosti, ki je zaradi tega invariantna glede na spremembo baze. Sled je linearna transformacija.

Značilnosti

Za vse kvadratne matrike $A \,$ in $B \,$ velja:

$\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B) \!\, .$

Če pa je $c \,$ skalar, velja tudi:

$\mathrm{tr}(cA) = c\cdot \mathrm{tr}(A) \!\, .$

Kadar pa je $A \,$ matrika $m \times n \,$

• $\mathop{\rm tr} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop{\rm tr} \;A+\beta \mathop{\rm tr} \;B$ (linearnost)

• $\mathop{\rm tr} \;(A B C) = \mathop{\rm tr} \;(B C A) = \mathop{\rm tr} \;(C A B)$ (cikličnost)

oziroma

$\mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(ACB) \!\, .$

Iz tega sledi:

$\mathop{\rm tr}\;(C^{-1}AC) = \mathop{\rm tr}\; (A)\$

• $\mathop{\rm tr} \;(A)=\mathop{\rm tr} \;(A^{T}) \,$ kjer je s T označena transponirana matrika

• $\ln \det(A) = \mathop{\rm tr} \; (\ln A) \,$

• če je $A\otimes B$ tenzorski produkt matrik $A \,$ in $B \,$, potem je $\mathop{\rm tr} \;(A\otimes B)=\mathop{\rm tr} \;(A) \mathop{\rm tr} \;(B)$

• sled matrike z realnimi ali kompleksnimi elementi je enaka vsoti njenih lastnih vrednosti

• $\operatorname{tr}(A\cdot B)= \mathrm{tr}(B\cdot A)$

• kadar sta matriki $A$ in $B$ $n \times n \,$ $A$ velja tudi

$\operatorname{tr}(A\cdot B) \geq 0$

• sled realne ali kompleksne idempotentne matrike $A \,$ je enaka njenemu rangu:

$\operatorname{tr}(A)=\mathrm{Rang}(A) \!\, .$

• za vse realne ali kompleksne matrike z $n\times n \,$ je tudi

$\det\left(\exp\left(A\right)\right)=\exp\left(\operatorname{tr}\left(A\right)\right)$

Zunanje povezave

• Sled matrike na MathWorld (v angleščini)