Midyjev izrek

Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a/p, kjer je p praštevilo, ulomek a/p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo. Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju. Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a/p v intervalu (0,1) enaka 2n, velja $a=1$ in:

$\frac{1}{p}=0,\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}} \!\, ,$

števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede na 9 z odgovarjajočimi števkami v prvi polovici, oziroma:

$a_{i}+a_{i+n}=9 \!\, ,$

$a_{1} \dots a_{n}+a_{n+1} \dots a_{2n}=10^{n}-1 \!\, .$

Ta značilnost se imenuje tudi Midyjeva značilnost ali značilnost devetic. Vodilne ničle v nizih zanemarjamo.

Na primer:

$\frac{1}{7}=0,\overline{142857}\text{ in }142+857=999 \!\, ,$

$\frac{1}{11}=0,\overline{09}\text{ in }0+9=9 \!\, ,$

$\frac{1}{13}=0,\overline{076923}\text{ in }076+923=999 \!\, ,$

$\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647}\text{ in }05882352+94117647=99999999 \!\, .$

Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so (OEIS A028416):

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, ...

Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila

Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m, deljiva z $10^{p}+1$. Na primer:

$\begin{align} \frac{1}{7^{2}} &=\frac{1}{49}=0,\overline{020408163265306122448979591836734693877551} \\ &\text{ in }020408163265306122448+979591836734693877551=999999999999999999999 \!\, , \end{align}$

$\frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{121}=0,\overline{0082644628099173553719}\text{ in }00826446280+99173553719=99999999999 \!\, ,$

Na primer $10^{3}+1=7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ imajo poleg praštevil 7, 11 in 13 Midyjevo značilnost tudi njihovi produkti 77, 91, 143 in 1001:

$\frac{1}{77}=0,\overline{012987}\text{ in }12+987=999 \!\, ,$

$\frac{1}{91}=0,\overline{010989}\text{ in }10+989=999 \!\, ,$

$\frac{1}{143}=0,\overline{006993}\text{ in }6+993=999 \!\, .$

Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila, ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period:

14, 22, 26, 28, 34, 35, 38, 44, 46, 52, 55, 56, 58, 65, 68, 70, 76, 85, 88, 92, 94, 95, 98, ...

ne velja pa za mnogokokratnike, kot so:

21, 33, 39, 42, 51, 57, 63, 66, 69, 78, 84, 87, 99, 102, ...

Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako (OEIS A187040):

7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52, 55, 56, 58, 59, 61, 65, 68, 70, 73, 76, 77, 85, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, ...

Razširjeni Midyjev izrek

Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a/p (p praštevilo), razširjeni Midyjev izrek pravi, da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku $10^{k}-1$. Poleg tega velja tudi, če je k enak 2 ali 3, je vsota nizov točno enaka $10^{k}-1$.

Na primer:

$\frac{1}{7}=0,\overline{142857} \!\, ,$

Če razdelimo niz periode na dele z 2 ali 1 števko, dobimo:

$14+28+57=99 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{2} - 1}) \!\,$

$1+4+2+8+5+7=27=3 \cdot 9 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{1} - 1}) \!\, .$

$\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647} \!\, .$

Če razdelimo niz periode (dolžina periode je 17-1=16) na dele s 4, 2 ali 1 števko, dobimo

$0588+2352+9411+7647=1998=2 \cdot 9999 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{4} - 1}) \!\,$

$05+88+23+52+94+11+76+47=396=4 \cdot 99 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{2} - 1}) \!\,$

$0+5+8+8+2+3+5+2+9+4+1+1+7+6+4+7=72=8 \cdot 9 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{1} - 1}) \!\, .$

$\frac{1}{19}=0,\overline{052631578947368421} \!\, ,$

kjer je dolžina periode enaka 19-1=18. Če razdelimo niz periode na dele s 6, 3, 2 ali 1 števko, dobimo:

$052631+578947+368421=999999 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{6} - 1}) \!\,$

$052+631+578+947+368+421=2997=3 \cdot 999 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{3} - 1}) \!\,$

$05+26+31+57+89+47+36+84+21=396=4 \cdot 99 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{2} - 1}) \!\,$

$0+5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=81=9 \cdot 9 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{1} - 1}) \!\, .$

Midyjev izrek za druge osnove

Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih značilnosti desetiškega razvoja, tako da veljata v poljubni osnovi b, kjer 10^k − 1 nadomesti b^k − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško:

$\frac{1}{19}=0,\overline{032745}_{8} \!$

$032_{8}+745_{8}=777_{8} \!\,$

$03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8} \!\, .$

Dokaz Midyjevega izreka

Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup, pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko.

Naj je p praštevilo, a/p pa ulomek med 0 in 1. Predpostavimo, da ima perioda v razvoju ulomka a/p v osnovi b dolžino ℓ, kar da:

$\begin{align} & \frac{a}{p} = [0,\overline{a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}}]_{b} \\[6pt] & \Rightarrow\frac{a}{p}b^{\ell} = [a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}.\overline{a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}}]_{b} \\[6pt] & \Rightarrow\frac{a}{p}b^{\ell} = N+[0,\overline{a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}}]_{b}=N+\frac{a}{p} \\[6pt] & \Rightarrow\frac{a}{p} = \frac{N}{b^{\ell}-1} \end{align}$

kjer je N celo število, katerega razvoj v osnovi b je niz a₁a₂...a_ℓ.

b ^ℓ − 1 je mnogokratnik p, ker je(b ^ℓ − 1)a/p celo število. Poleg tega bⁿ−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od ℓ, saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a/p v osnovi b manjša od ℓ.

Naj je sedaj ℓ = hk. Potem je b ^ℓ − 1 mnogokratnik b^k − 1. Naj je b ^ℓ − 1 = m(b^k − 1), tako, da velja:

$\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^{k}-1)} \!\, .$

b ^ℓ − 1 je mnogokratnik p; b^k − 1 ni mnogokratnik p (ker je k manj kot ℓ ); p pa je praštevilo, zato mora biti m mnogokratnik p,

$\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1} \!\,$

pa je celo število. Tako je:

$N\equiv0\pmod{b^k-1} \!\, .$

Sedaj razdelimo niz a₁a₂...a_ℓ na h enakih delov dolžine k, in ti naj predstavljajo cela števila N₀...N_h − 1 v osnovi b, tako, da je:

$\begin{align} N_{h-1} & = [a_{1} \dots a_{k}]_{b} \\ N_{h-2} & = [a_{k+1} \dots a_{2k}]_{b} \\ & {}\ \ \vdots \\ N_{0} & = [a_{l-k+1} \dots a_{l}]_{b} \end{align}$

Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b moramo pokazati, da je vsota h celih števil N_i mnogokratnik b^k − 1.

Ker je b^k kongruentno 1 modulo b^k − 1, bo tudi vsaka potenca b^k kongruentna 1 modulo b^k − 1. Zato:

$N=\sum_{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}$

$\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_{i} \pmod{b^{k}-1}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_{i} \equiv 0 \pmod{b^{k}-1} \!\, ,$

kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b.

Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka vzamemo posebni primer, kjer je h = 2. N₀ in N₁ sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b, tako da za oba velja:

$0 \leq N_{i} \leq b^{k}-1 \!\, .$

N₀ in N₁ ne moreta bita oba enaka 0 (saj bi bilo a/p = 0), in ne moreta biti oba enaka b^k − 1 (ker bi bilo a/p = 1), tako da je:

$0 < N_{0}+N_{1} < 2(b^{k}-1) \!\, ,$

in, ker je N₀ + N₁ mnogokratnik od b^k − 1, sledi, da je:

$N_{0}+N_{1} = b^{k}-1 \!\, .$

Viri

• Abdul-Baki, Bassam (2005-07-12). Extended Midy's Theorem.

• García-Pulgarín, Gilberto; Giraldo, Hernán (2009). "Characterizations of Midy's property". Integers 9: 191–197. http://ftp4.de.freesbie.org/pub/misc/EMIS/journals/INTEGERS/papers/j18/j18.pdf. 

• Gil, Juan B.; Weiner, Michael D. (2006). On cyclic numbers and an extension of Midy's theorem. arXiv:math/0605347v1. 

• Gupta, Ankit; Sury, B. (2005). "Decimal expansion of 1/p and subgroup sums". Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 5 (# A19). http://www.emis.ams.org/journals/INTEGERS/papers/f19/f19.pdf. 

• Leavitt, William G. (1967-06/07). "A Theorem on Repeating Decimals". American Mathematical Monthly 74 (6): 669–673. http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1047&context=mathfacpub. 

• Lewittes, Joseph (2007). "Midy’s theorem for periodic decimals". Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7 (#A02). http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h2/h2.pdf. 

• Martin, Harold W. (2007). "Generalizations of Midy’s theorem on repeating decimals". Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7 (#A03). http://www.emis.ams.org/journals/INTEGERS/papers/h3/h3.pdf. 

• Midy, E. (1836). De Quelques Propri´et´es des Nombres et des Fractions D´ecimales P´eriodiques. Nantes. Str. 21. 

• Rademacher, Hans Adolph; Toeplitz, Otto (1957). The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press. Str. 158–160.