Karakteristični polinom (linearna algebra)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik (npr. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike).

Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Dano imamo kvadratno matriko  A \, in zanjo želimo najti polinom, katerega rešitve so lastne vrednosti matrike  A \,.

Za matriko  A \, velja

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},\,

To lahko napišemo kot

(\lambda I - A)\mathbf{v} = 0\,

kjer je

Matrika  \lambda I-A \, je singularna (neobrnljiva), kar pomeni, da je njena determinanta enaka 0.

To tudi pomeni da so  \det (\lambda I-A) \, lastne vrednosti matrike  A \, oziroma, da je determinanta polinom za  \lambda \,.

Karakteristični polinom nad obsegom  K \, za matriko  n \times n \, označimo s  p_A(t) \,. Določen je kot

 p_A(t) = \det (tI-A) \,

kjer je

Zgled[uredi | uredi kodo]

Določimo karakteristični polinom za matriko

A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{bmatrix}.

Najprej moramo določiti determinanto matrike

t I-A = \begin{bmatrix}
t-2&-1\\
1&t
\end{bmatrix}

Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu, ki je v tem primeru

(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!.

Karakteristična enačba[uredi | uredi kodo]

Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko  \lambda \,

\det(A - \lambda I) = 0 \, .

Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Zgled: Imamo matriko

P = \begin{bmatrix} 19 & 3 \\ -2 & 26 \end{bmatrix} .

Karakteristična enačba je

\begin{align}
 0 &{}= \det(P - \lambda I) \\
   &{}= \det\begin{bmatrix} 19-\lambda & 3 \\ -2 & 26-\lambda \end{bmatrix} \\
   &{}= 500-45\lambda+\lambda^2 \\
   &{}= (25-\lambda)(20-\lambda) .
\end{align}.

Iz tega sledi, da sta lastni vrednosti enaki 20 in 25.

Karakteristični polinom zmnožka dveh matrik[uredi | uredi kodo]

Če za matriki A \, (z razsežnostjo  m \times n \,) in B \, (z razsežnostjo  n \times m \,) velja, da je  m < n \, in ima matrika AB \, razsežnost  m \times m \, ter matrika BA \, razsežnost  n \times n \,, potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka:

p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,.

Cayley-Hamiltonov izrek[uredi | uredi kodo]

Cayley-Hamiltonov izrek pravi, da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu. Torej, če je

p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,

potem velja

p(A)=0.\,.

To pomeni, da takrat, ko v karakteristični polinom namesto  \lambda \, vstavimo matriko  A \,, dobimo ničelno matriko (pri tem seveda potenciramo matriko, kjer je potrebno). Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu.

Nekatere značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • polinom  p_A(\lambda) \, ima vodilni koeficient enak 1, njegova stopnja pa je  n \,
  • dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma. Obratno pa ne velja:če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma, nista nujno tudi podobni.
  • matrika  A \, in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]